1 < cos α + cos β + cos γ ≤ 3/2 (0 < α, β, γ < α+β+γ=π)

elim

请大家看看下面这个三角形余弦和不等式怎么证:

试证:  1 < cos α + cos β + cos γ ≤ 3/2 (0 < α, β, γ < α+β+γ =π)

天元酱菜院

题目： 已知 a、b、c 均大于0，且 a+b+c= 180度， 求证 1< cos a + cos b + cos c <= 3/2

不失一般性，设 0 < c  <=  b  <= a 。   于是，c = 180度 - a - b  <=  180度 - 2c   即  c <=60度
于是，有：  120度 <=  a+b <180度。
类似方式可有：  60度<=a< 180度 ，
当然，还有 0度<b<180度；  由于a>=b, 所以还有 0度<= a-b < 180度   

cos a + cos b +  cos (180 - (a+b))
=cos a + cos b - cos(a+b)
=2 cos(  (a+b)/2  )  cos ( （a-b)/2  )  -  ( 2  [cos (  (a+b)/2  ) ]^2   -1 )
=2 cos(  (a+b)/2  ) [ cos (  (a-b)/2  )  -  cos(  (a+b)/2  )  ]  + 1        ....................(1)
=4 cos(  (a+b)/2  )  sin( a/2 )  sin ( b/2 )    + 1   ................................................(2)

由于 a+b、 a 、b 均大于0，均小于180度， 所以，0<(a+b)/2<90; 0<a/2<90; 0<b/2<90
于是，从（2）立刻可得到   1< cos a + cos b + cos c 的结论。

再来分析（1）式： 由于0<(a+b)/2<90,  有 cos( (a+b)/2 ) >0  ，以及COS函数特点， 所以，
总会有   2 cos(  (a+b)/2  ) [ cos (  (a-b)/2  )  -  cos(  (a+b)/2  )  ]  + 1  <=
            2 cos(  (a+b)/2  ) [   1                    -  cos(  (a+b)/2  )  ]  + 1
          = 2 cos ((a+b)/2 )  [ cos ( 0)             -  cos(  (a+b)/2  )  ]  + 1

即： 不论 c 取（0,60】区间内何值， 当c值 取定 后， cosa +cosb+ cosc  以 a=b 时达到 最大。

最后，再来分析a=b时  2 cos(  (a+b)/2  ) [ cos (  (a-b)/2  )  -  cos(  (a+b)/2  )  ]  + 1
它等于 2 cos a    [1 - cos a ]   + 1  =  -2 [cos a]^2 + 2 cos a + 1 ，
由于我们有  60<=a  和  120<=a+b=2a<180  要求； 即，这里有 60<=a<90 约束。
设 cos a =x ,  求（0<x<=1/2）区间上  -2x^2+2x+1 的最大值
对x求导并令其为0 ， -4x+2=0  即 x=1/2；    由于二阶导：-4 小于0 ， 函数在1/2处有唯一极大值。而本问题定义域（0, 1/2】 又包含了该点，所以， cosa =1/2 时，
（即a=60时，于是 b=a= 60，从而 c=180-120=60），
cos60+cos60+cos60=3/2 是cosa+cosb+cosc 的最大值。
于是有 1<cosa+cosb+cosc<= 3/2   证毕
   

   

elim

谢谢楼上天元先生的解。