解析极限理论中lim(n→x)的数学含义

门外汉

众所周知，高等数学中的微积分晦涩难懂，连大数学家陈景润都说过，步入高等数学的门槛时，一个ε－N语言(谐音翻译为一扑死弄理论)就让学生们头疼不已，不知道“扑死弄”了多少个脑细胞。
微积分难懂是因为其核心的极限概念难懂，而之所以极限概念难懂，是因为对极限的概念定义不明朗，解释不清楚，才会造成许多的误读与误解。
举例来说:lim(n→∞)1/n＝0，这个式子学过微积分的朋友没有人怀疑它是错误的吧?这个式子肯定是正确无误的，不容置疑的。
可是，在实际做题的过程中你会发现，无论n取任何一个自然数，它的值一定大于0，你就算一一试遍了所有的自然数它毫无例外地一定大于0，绝对找不到反例，那么，按照证明论的步骤，就应该有lim(n→∞)＞0，怎么会等于0呢?
请先盖住我下面所写的文字，想一想，这个问题究竟怎么解释?能解释清楚吗?
还有一道题更让人费解:lim(x→0)1/x＝?x的取值越小，1/x的值就越大，它能大到什么程度?无穷大吗?而且，x能等于0吗?0做分母是无意义的。
通过上面的两个例子，请思考一下lim(n→∞)与lim(x→0)究竟是什么意思?而且，为什么前面用的是→符号而后面用的是=符号?而不是这样写:lim(n→∞)1/n→0?
所以，要想真正彻底地理解极限概念，必须要先弄懂lim(n→x)究竟是什么含义，如果这个问题不搞清楚，以后的学习过程中只会陷入于无穷无尽的矛盾与纠结之中。
上面举的是两个特殊的例子，要想弄清楚极限的真正含义，就要化繁为简，下面举两个让人一看就懂的平凡例子来进行说明:
例题:设函数f(x)＝8/x(x→2)，x的取职范围为实数区间［1，2］，因为这个例子太简单了，我可以毫不思索的立即给出该函数的极限为4，即lim(x→2)8/x＝4，下面分析出该函数的定义域，定义域的极限，值域，值域的极限分别是什么?
该函数的定义域是实数区间［1，2］，什么叫定义域的极限?也就是该定义域中的最小值与最大值，它的最小值为1(这里不讨论)，最大值为2，因此1和2是该定义域的最小极限和最大极限。
可以计算出来，它的值域为［8，4］(我故意写反的，方便理解，如果觉得别扭就请正过来)，值域的最大极限为8(不做讨论)，最小极限是4。
现在问:当x取何值时，它等于4?(等于它的极限值)，非常简单，当x＝2时，f(x)＝4。写成式子就是:lim(x→2)8/x＝4。
那么，这里的lim(x→2)是什么意思，它的含义就是lim(x→2)等价于x＝2，更进一步的解释就是x取定义域的极限值2，则它所对应的是值域的极限4，这一过程称为取极限。
再看另一个例子:f(x)＝((x/5)＋3)(x→0)，x的定义域是非负实数区间［0，＋∞)，定义域的最小极限为0，值域是［3，＋∞)，值域的最小极限为3。
该函数的极限为:lim(x→0)((x/1)＋3)＝3，问:当x取何值时?它的极限是3?答案为:当x取定义域的最小极限0时，它的值就是函数的极限值3。
那么，这里面的lim(x→0)是什么含义?它的含义就是lim(x→0)等价于x＝0。也就是当x取定义域的极限0时它对应的值是函数的极限值3。
通过上面两个简单的例子，可以总结出:lim(n→x)等价于n＝x，其中n是自变量，x是定义域的极限，lim(n→x)的意思是自变量n取定义域的极限。
如果n取定义域的极限，则它所对应的值便是函数值域中的极限值。
再回过头来看那两个特殊的例子:lim(n→∞)1/n＝0，这个式子究竟应该怎么理解?首先看n的定义域是什么?n的定义域是全体自然数，自然数有极限吗?有人说没有，这个说法是正确的，但还有一个说法也是正确的，那就是自然数的极限是∞。
所以，这里的lim(n→∞)等价于n取自然数的极限∞，也就是n的取值大于所有的自然数。前面说过，n取任何一个自然数1/n皆小于0，但当n的取值大于所有自然数(无穷)，则它的值为该函数的极限值0。
另一个例子:lim(x→0)1/x＝?
我们先看它的定义域是什么?它的定义域是［0，＋∞］，定义域的最小极限是0，但这里有一个很大的问题:0能做分母吗?0做分母是无意义的，这历来就是数学中的一个不可逾越的禁区，因为0做分母会导致逻辑上的混乱，所以数学规定0绝不能做分母。
所以该函数的定义域就不能有0，则它的定义域为(0，＋∞］，也就是定义域无极限。因为定义域无极限，所以值域也无极限，所以lim(x→0)1/x＝?是一个错误的表达式，lim(x→0)等价于x＝0，而x＝0则1/x无意义，所以该函数无极限。
最后总结:lim(n→x)等价于n取极限x即n＝x。