[分享]柯西函数方程的不连续解

elimqiu

实数系上的实值函数方程 f(x+y) = f(x)+f(y) 叫做柯西函数方程。
(1)证明，如果 f 是柯西函数方程的一个连续解，则存在常数 a 使得 f(x) = ax 恒成立。
(2)证明在选择公理成立的假设下， 柯西函数方程存在不连续解。
(3)如果 g 是柯西函数方程的不连续解，则 {(x,g(x)) | x ∈ R} 在 R×R 中稠密。

elimqiu

柯西函数方程的解必是以 Q 为数域的线性空间 R 上的线性变换，因此被 R 相对于 Q 的一组基上的值唯一确定。

fleurly

不连续解 是什么意思？

elimqiu

下面引用由fleurly在 2010/09/14 04:35pm 发表的内容：
不连续解 是什么意思？

如果一个不连续的函数 f: R→ R 使得 f(x+y) = f(x)+f(y) 恒成立， 那么 f 就是柯西函数方程的不连续解。

elimqiu

[这个贴子最后由elimqiu在 2010/09/21 11:28pm 第 1 次编辑]

欢迎分享。不然这个周末我交卷。

elimqiu

个头基本不变，德性基本不长，趣味三岁定格，骚臭加醋抓狂。