[讨论]变量，函数，连续

elimqiu

变量，函数，连续这些术语在现行数学中到底是什么意思？我发现很多人是有不同看法的。例如顽石对变量的理解一定与现行数学的变量的概念向悖。屡试不爽。
我们从一个定理来带出这些概念的讨论：

elimqiu

[这个贴子最后由elimqiu在 2010/09/13 04:36pm 第 1 次编辑]

介值定理的一个直接运用就是函数的零点或多项式的根的一个充分条件；
若 f 连续且 f(a)·f(b) < 0, 则存在介于a,b 的某 c 使得 f(c) = 0[br][br][color=&#35;990000]-=-=-=-=- 以下内容由 elimqiu 在 时添加 -=-=-=-=-
例如 f(x) = x^3 - 2x^2 + 3x -4
f(1) < 0, f(2) = 2 > 0, 所以
方程 x^3 - 2x^2 + 3x -4 = 0
在 1，2 之间有根。

elimqiu

[这个贴子最后由elimqiu在 2010/09/13 04:37pm 第 3 次编辑]

按照顽石的缝隙理论，介值定理是不成立的。上一帖说 1, 2 之间有所给方程的根， 但顽石认为 1,2 之间是空空如也的缝隙。什么也没有。

elimqiu

介值定理的直观（非严格）解释是：连续函数的图像是不间断的曲线，如果它经过 y=s 的上方某点，又经过 y=s 下方的某点，那么它必与 y=s 有交点。
再粗糙一点说，就是连续曲线（直线/直线段是其特例）没有空缺。空缺的意思就是没有缺少点的位置或者说对曲线的任何分割，分割点已经属于曲线。
这里我们看出，介值定理的基础是实数系的连续性。而实数系的连续性必然导致实数的不可数性。
那么谁使得实数轴如此之满？这对一些人，顽石是其中之一，就成了一个不可解决的问题。我们可以试待某位再次提出，于是肯定这是一个棘手的问题，再作讨论。[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 elimqiu 在 时添加 -=-=-=-=-
顽石认为，线段就是缝隙就是空缺（空空如也）。所以他的数学只不过是他的喃喃自语。跟现行数学毫不相干。难怪他的东西除了胡扯之外，不能解决任何问题。
设想他的毛衣是几百米长的缝隙织出来的。难怪穿与不穿是等价的，无处不漏风，老头如此好裸？堪称“谎弟”的新衣...？

elimqiu

缝隙和线作为自然语汇，意义的不同是显然的。能把这两者扯成一致的，除了癫狂，就是居心不良。

elimqiu

没错，虽然人的感知手段和物质世界的粒子性皆属离散，感觉的延续/滞后性， 实体在观念上的无限可分性，以及数空模型的经济性要求都导致实数系的连续性观念。于是数学家才超限地‘构造’实数系，以反映这种经济性的数空观是有数学上的存在性。

elimqiu

[这个贴子最后由elimqiu在 2010/09/14 04:56pm 第 1 次编辑]

我们再来看 闭区间上的连续实函数的一些性质。没有例外，需要用到实数的连续性。
定理： 设 f 是闭区间 I = [a,b] 上的连续实函数, 则 f 有界。 即有某正数 M 使得 |f(x)| < M 在 I 上恒成立。

elimqiu

[这个贴子最后由elimqiu在 2010/09/14 04:52pm 第 1 次编辑]

这个问题的确很深刻，它反映了人们一方面理性地确立了实数系，一方面又用经验世界的认知来看待这种理性的存在。
考察一下命题：
(*)此对象由彼对象构成，那么此对象的某种测度必为构成它的彼对象的同种测度之和。

这也许在经验世界里有很多例证，但即使在经验世界里，这也不是天经地义的真理。还是有反例。这个命题更谈不上有逻辑的根据了。
问题出在‘长度’的定义不仅依赖于点集及其基数，更依赖于点集的分布状况。另外，可加性至多只能对可数个加项有意义。综合这些因素应该知道，朴素的‘长度’观念以及把(*)当成天经地义才是矛盾的出处。事实上数学家们对这个问题的处理是近代数学中严谨的典范。测度论已经彻底地解决了这个朴素的质疑。在实数系中建立了具有可数可加性，符合区间测度等于端点距离，点的测度为0的自洽完备的勒贝格测度。 关于这方面的精彩通俗介绍，请看
[color=&#35;0000FF]长度是怎样炼成的

elimqiu

下面引用由elimqiu在 2010/09/14 05:47am 发表的内容：
我们再来看 闭区间上的连续实函数的一些性质。没有例外，需要用到实数的连续性。
定理： 设 f 是闭区间 I =  上的连续实函数, 则 f 有界。 即有某正数 M 使得 |f(x)| < M 在 I 上恒成立。

这个证明用到了实数连续性的一个等价命题：有界序列必有收敛子列。

elimqiu