重复掷两颗点数为 1,2,3,4 的正四面体骰子，求点数之和 5 比点数之和 7 先出现的概率

luyuanhong

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

重複擲兩粒公平的正四體骰子( 出現點數為1,2,3,4點)多次,

若出現點數和為5的事件稱為Ａ出現點數和為7的事件稱為B, 其餘的事件稱為 C。

每次投擲的結果互不相影響，則記錄表上A比B先出現的機率為多少？    謝謝！

luyuanhong

Ysu2008

luyuanhong

楼上的计算忽略了这样一种情况；

在 B 首次出现之前，A 已经出现过多次。

例如 ACCAACCCACCCCCB 这样的情况。

Ysu2008

luyuanhong 发表于 2015-10-11 04:32
楼上的计算忽略了这样一种情况；

在 B 首次出现之前，A 已经出现过多次。

陆老师，我是这样考虑的：

在统计A先B后时，不妨先统计A、B间隔0，然后统计间隔1、间隔2......，直到间隔n。

比如先统计间隔0，只有“AB”这一种情形；
然后统计间隔1，有“AAB”、“ABB”、“ACB”三种；但间隔1的“AAB”与“ABB”在统计间隔0时已经统计过了，不必再计。

依次类推：在统计间隔k时，A与B之间有A或者B的情形已经在之前统计小于k时计算过了；这就等于说，统计任何间隔时只需要统计A与B之间全为C的情形就没有遗漏。

最后求和，求极限。

luyuanhong

楼上的意思是：忽略以前的情况，从第一次出现 B ，然后倒推到在第一次出现 B

之前最后一次出现的 A ，计算所有这样情况的概率。

但是，这样算出的概率，因为忽略了以前的情况，并不是题目要求的 “A 比 B 先出现” 的概率。

假如楼上的算法正确，我们也可以照样来算 “B 比 A 先出现” 的概率。

P(B)×P(C)^n×P(A)=1/8×(5/8)^n×1/4=1/32×(5/8)^n 。

Sn=1/12-5/96×(5/8)^n  。

再令 n→∞ ，得到 “B 比 A 先出现” 的概率也是 1/12 。

因为 “A 比 B 先出现” 与 “B 比 A 先出现” 是两种正好相反的结果，

所以它们的概率加起来应该等于 1 。

而 1/12+1/12=1/6≠1 ，说明楼上的这种计算方法其实是不正确的。

luyuanhong

下面是台湾网友 YAG 看到第二楼中的解答后，

在“陆老师的《数学中国》园地”中，发的一个帖子：

請問陸老師:  

碰到C可以視同不算，重來一次，把C的樣本全部去掉

只要碰到A或B就結束，視同一次決勝負的賭局

A:B = 4:2 ， 所以機率 4/6=2/3

為什麼這樣解也可以?是用到甚麼概念?

luyuanhong

Ysu2008

陆老师你是对的，这道题我理解有误，计算也有问题。{:soso_e112:}