[塞责]包含有理数的区间总长（向 elimqiu兄、赵录兄交代）

ccmmjj

[这个贴子最后由ccmmjj在 2010/09/16 04:13pm 第 1 次编辑]

去年至上半年在下曾答应 elimqiu兄和赵录兄写一些有关实数可数或不可数的理论。暑假很是思考了一下，也动了笔。但马上发现自已掉进一个泥塘里。这不是一个能简单说清楚的事情。我发现这根本是一个假定问题。空间是无限可分的吗？如果不是，实数不可数的理论就岌岌可危了。物理学的量子理论有点动摇了这个结果。不管怎么说，数学上是认定空间是无限可分的。于是我相信无理数的存在，相信不可数的客观存在。所以就写下下面一点东西，作为塞责，向 elimqiu兄、赵录兄交代。

qingjiao

我觉得有人说的有道理：所有未搞清楚内部规律的东西，都是统计学在掺乎，例如经济学等等。量子力学也是统计学大量掺乎的结果。
数学是一种逻辑上的东西，人的头脑里面的东西，不一定要和客观世界对应的。

elimqiu

谢谢ccmmjj的分享。
关于数学的客观性我们可以这么理解：
（1）客观事物既有质的属性又有量/空间的属性。这就是说量/形的客观性在于物质世界的
     客观性
（2）不管意识是第几性的存在，意识/思辨/逻辑是客观存在，数理逻辑反映了这种客观存
     在的部分重要规律。
（3）数学是建立在前两条以及公理系统上的。数学一方面是对经验世界的量/形的理想化，
     完备化，一方面又是少数公理之上的逻辑展开，其存在性/真理性等价于相容/自洽性。
经验世界里没有完美的圆，数学中有；
经验世界中的量不是无限可分，在数学上量无限可分；
从工程的角度，不是数学要效法经验世界，而是经验世界要效法数学世界（效法数学中的圆等等）。
从推理的可行性/经济性来说，经验世界的不精确性是无法拿来推理的。例如勾股定理是无法建立在测量的基础上，只能建立在逻辑的基础上，和绝对精确的量的存在性假定上...
我们平常接触的经典数学/现行数学， 就是在以上这些基本认识，以及少数相当符合常人直觉的公理之上的。
我觉得搞数学的，不管在什么层面，还得对数学基础有一个说的过去的了解：
集合论，关系，映射，基数
初等几何，解析几何
自然数公理是如何建立自然数（加法半群）以及归纳法，最‘小’的实无穷的
自然数到整数的扩充构造
整数到有理数的扩充构造
有理数到实数的扩充构造
实数的完备性/连续性及不可数性/基本的测度理论
实数到复数的扩充构造
复数系的代数完备性，伽罗瓦理论
数学发展简史
这些东西其实是一个好的数学教师应该了解的。不是说要怎么精，是要知道这些思想。
技巧方面的建立我们通常还说得过去（或者还有自知之明），数学思想的锤炼却不是我们的习惯。

申一言

下面引用由elimqiu在 2010/09/17 00:41am 发表的内容：
谢谢ccmmjj的分享。
关于数学的客观性我们可以这么理解：
（1）客观事物既有质的属性又有量/空间的属性。这就是说量/形的客观性在于物质世界的
     客观性
...

elimqiu老师讲得好！

ygq的马甲

下面引用由qingjiao在 2010/09/16 09:06pm 发表的内容：
我觉得有人说的有道理：所有未搞清楚内部规律的东西，都是统计学在掺乎，例如经济学等等。量子力学也是统计学大量掺乎的结果。
数学是一种逻辑上的东西，人的头脑里面的东西，不一定要和客观世界对应的。

附图：事物变化的基本形状（变）

要想理解【量子力学和相对论】，必须承认“辩证ｄｉａｌｅｃｔｉｃ”逻辑的，即 R(·,·)="﹁∈"
注1：相当于图中的“垂直段”
注2：所谓的“道理”，其实是强调【逻辑】

ygq的马甲

从工程的角度，不是数学要效法经验世界，而是经验世界要效法数学世界（效法数学中的圆等等）。
从推理的可行性/经济性来说，经验世界的不精确性是无法拿来推理的。例如勾股定理是无法建立在测量的基础上，只能建立在逻辑的基础上，和绝对精确的量的存在性假定上...
我们平常接触的经典数学/现行数学， 就是在以上这些基本认识，以及少数相当符合常人直觉的公理之上的。

可以理解成：围绕数学上的波动

wangyangkee

哈，ccmmjj，不简单；是个数学政治家，是个政治数学家，，，
http://www.mathchina.com/cgi-bin/topic.cgi?forum=5&topic=18355&show=0