5—轮构形不能用别的构形来代替

雷明85639720

5—轮构形不能用别的构形来代替
雷  明
（二○一五年十月二十四日）

1、坎泊所构造的不可避免构形集是正确的：
1879年坎泊所找到的、并可证明是正确的平面图的不可避免构形集{Ln（n≤5，n是只有一个）}即{O，P，W，R}，是绝对正确的，也是非常完备的。该集中前三个构形其围栏外的顶点不可能形成有公共颜色的连通链，坎泊在1879年早已证明了它们都是可约的；只有后一种5—轮构形（即R构形），在围栏外的顶点中可以形成有公共顶点的连通链，如A—C和A—D链。这两条链具有同一个起点（着A色），但终点却不同。该两链的分布形式有两种，一是两链除了起点是公共顶点A外，别处再无公共顶点（交叉顶点），这种构形也在1879年早已被坎泊证明是可约的了；二是两链除了起点是公共顶点（着A色）外，别处还有公共顶点（着A色的交叉顶点），这一情况在1879年被坎泊遗漏了，而在1890年却被赫渥特发现了，因而否定了坎泊的证明。
2、任何构形都是代替不了5—轮构形的：
多年来5—轮构形一直不能证明是否可约（当然现在我们是可以证明其是可约的：可以从两链的交叉顶点开始交换A—B链，使两条连通的A—C链和A—D链均断开，为再施行一次坎泊的颜色交换技术空出颜色给待着色顶点着上而创造了条件），所以人们就企图寻找别的可以代替5—轮构形的构形。在这种错误思想的指导下，1904年，Wernicke构造了两个有两个待着色顶点的构形L（5，5）和L（5，6）来代替R（5—轮构形），以后又有人构造了L（5，5）和L（5，6，6）来代替R。1913年Birkhoff又构造了所谓可约的伯克豪夫钻石构形，直到阿贝尔用电子计算机构造出的近2000个可约构形。这些构形，不管是可约还是不可约，不是不能用来代替5—轮构形的。这些构形中的待着色顶点中，都含有至少5—度的顶点。着色时又是一个一个的顶点着，当把非5—度的顶点着完后，剩下的还不是一个5—轮构形吗。这种用别的构形来代替5—轮构形的想法，实在是自欺欺人的作法。只有证明了5—轮构形是否可约，才能得出四色猜测是否正确的结论。只有证明了5—轮构形是可约的，四色猜测就被证明是正确的了。其他的构形，证明再多且也都是可约的，也不能说明5—轮构形就是可约的。
3、赫渥特构形与“赫渥特颠倒”：
上面谈了两连通链A—C和A—D有交叉顶点的构形的解决办法是破坏其连通链的连通性，即断链。但也有的5—轮构形，即就是从两连通链的交叉顶点进行了A—B链的交换，也不能在再施行一次坎泊的颜色交换技术后就能空出一种颜色给待着色顶点，如M—构形（米勒构形），Z—构形（张氏构形）和L—构形（雷氏构形）。这几个构形各有其独特的解决办法：M—构形和L—构形都因为有环形的A—B链，都可以对处于A—B环内外的任一条C—D链进行交换，改变构形类型，再施行一次交换后，即可空出颜色给待着色顶点着上；Z—构形可以通过“赫渥特颠倒”（实质仍是坎泊的颜色交换技术）改变构形类型，再施行一次交换后，即可空出颜色给待着色顶点着上；而上面我们所说的断链的那种5—轮构形就是H—构形（赫渥特构形），它的解决办法也是不同于其他构形的。以上的M，Z，L，H四种构形，我们把它们统称为H—构形（而把非M，Z，L，H四种构形以外的构形叫做K—构形（即坎泊构形））。虽然M，Z，L，H四种构形他们各有自已的独特的解决办法，但都可以用同一个办法——“赫渥特颠倒”法去解决。这就是张彧典先生说的H—换色程序。
4、着色法还是不能最终解决四色问题：
除了K—构形以及M，Z，L，H四种构形外，还有没有别的构形不能用以上的方法进行解决，而又有自已的独特解决办法呢。我们目前还不能知道，但也不能说就没有了。因为我们还不能证明目前就没有了。所以说目前用这样的着色的方法是还能使得四色问题得到彻底解决的。要使四色问题得到彻底的解决，必须走不画图，不着色的道路。这也才是唯一的正确的道路。


雷  明
二○一五年十月二十四日于长安

注：此文已于二○一五年十月二十四日在《中国博士网》上发表过，网址是：

雷明85639720

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