求最小值（一个小学奥数题）

天山草

已知 a, b, c, d 均是大于零且小于 10 的正整数，也就是 1 到 9 这九个数码中的数。
并且 a, b, c, d 互不相同。
     求下式的最小值：
      f(a, b, c, d) = abcd - abcd = (1000a + 100b + 10c + d) - abcd.
其中 abcd表示由 a,b,c,d 并列构成的四位数，而 abcd 表示四个数码的乘积。

天山草

上面这题是小学四年级奥数题。答案是 1145，老师是这样论证的：

天山草

我认为上面这个证明太不严密了，含糊之处很多。
不知能看得过去的证明是怎样的？用高等方法或不等式方法证明也可以。

elim

ataorj

从最小符合的4位数1234开始分析:
n　　　m　　　　　h=n-m
1234　1*2*3*4=24　1210
个位x变化:n增加x-4,m增加6(x-4),h减少5(x-4),继续:
十位y变化:n增加10(y-3),m增加2(y-3)x,h减少2(y-3)(x-5),继续:
百位z变化:n增加100(z-2),m增加(z-2)yx,h减少(z-2)(xy-100),
xy<=72<100,所以百位不须考虑变化,千位也类同.
个位十位变化,h从1210共减少k
k=(2yx-24)-[(10y-30)+(x-4)]
=2xy-x-10y+10
显然,x>y更能增大k

k=(2y-1)(x-5)+5
显然,x和y取尽可能大的值才使得k最大,

结论:1289
结果:1289-144=1145

pAq

    求最小值（一个小学奥数题）

llz2008

要使差最小，必须被减数最小，减数最大。先取减数最大值6*7*8*9，此时被减数的最小值是6789，再以差值的变化确定各位数字的最终值，先从首位6减小1即取5，被减数少1000，减数少504，差减少496，所以首位最终应取a=1，这时得1*7*8*9，1789。再看第二位b减少1，被减数少100，减数少72，差减少28，所以二位最终应取b=2,得1*2*8*9,1289.再看三位c减少1，被减数少10,，减数少18，差增加8，所以三位最终应取c=8.同理最终d=9。

天山草

谢谢楼上各位高手的解答。我认为elim的解答非常精致完美，证明无懈可击。pAq的编程穷举法也很好，只是不适合考场用而已。