证明：对任意非负整数 n，f(n)=(tanπ/7)^2n+(tan2π/7)^2n+(tan3π/7)^2n 均为自然数

luyuanhong · 发表于 2015-11-12 11:25

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

掬一捧月光 · 发表于 2016-4-25 23:28

x+iy+jz,三元数对此题有用吗

掬一捧月光 · 发表于 2016-5-8 18:45

本帖最后由掬一捧月光于 2016-5-8 10:48 编辑

我对此题甚是着迷，随着n的增大，其值增长的很快，感觉不是一般的处理办法能解决的。
用无理数来表示整数的式子的确有不少，比如斐波那契数列通项公式，但其是两项的和，且幂是n，其底有关系；
此处，却是三项和，且幂是2n，其底看上去也很有关系。。。

掬一捧月光 · 发表于 2016-5-9 23:41

本帖最后由掬一捧月光于 2016-5-9 15:53 编辑

此题看似很难，但只要找出满足此形式的我们常见的知识点来解决即可。
题目玄就玄在底为tanpi/7,tan2pi/7,tan3pi/7，其形式是多么的完美，有时数学就是如此的美。
还有并不是一个，而是两个，。。。n个都满足，很神奇。
我找到一条思路，其是三次方程根的和。
那么就要用整系数三次方程的理论来处理了。
三次就这么神奇，如果是整系数五次方程呢？会复杂到什么程度？

掬一捧月光 · 发表于 2016-5-11 08:22

没有人回答吗？陆老师？

luyuanhong · 发表于 2016-5-11 19:14

本帖最后由 luyuanhong 于 2016-5-11 19:23 编辑

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证明：对任意非负整数 n，f(n)=(tanπ/7)^2n+(tan2π/7)^2n+(tan3π/7)^2n 均为自然数

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