[求助]请教陆老师一道关于矩阵特征值的题，谢谢。

傻瓜学者 · 发表于 2010-9-22 06:27

题目是：
三维列向量a和b。已知aTb=2，那么矩阵baT的非零特征值是多少？
麻烦陆老师指点一下，谢谢！

luyuanhong · 发表于 2010-9-22 10:13

[这个贴子最后由luyuanhong在 2013/02/04 04:07pm 第 2 次编辑]

下面引用由傻瓜学者在 2010/09/22 06:27am 发表的内容：
题目是：
三维列向量a和b。已知aTb=2，那么矩阵baT的非零特征值是多少？
麻烦陆老师指点一下，谢谢！

此题解答如下：

傻瓜学者 · 发表于 2010-9-23 07:08

谢谢陆老师。
您的方法太巧妙了，比书上好得多，书上设了两个特征值未知数，推导很繁琐（所以有时即使书上有答案，我也愿意再请教您）。

关于这道题我还得继续请教您一个问题。
起初这道题我的解法是：
矩阵baT对角线上的和其实就是aTb，和为2，我当时也考虑过因为r(baT)=1，所以应该就有一个非零特征值，所以就是2。
问题就在这里。
您解释说因为r(baT)=1，所以abT只有一个非零特征值，您这是不是在已经确定“必有一个非零特征值（题意）”的基础上才得出的这个结论？而并非秩与特征值的直接关系？比如矩阵
001
000
000
秩为1，特征值仍全为零。
矩阵
010
001
000
秩为2，特征值仍全为零。
那么我能不能得出这么一个结论：矩阵的非零特征值必小于等于矩阵的秩？
请教陆老师，谢谢！

luyuanhong · 发表于 2010-9-23 08:01

下面引用由傻瓜学者在 2010/09/23 07:08am 发表的内容：
您解释说因为r(baT)=1，所以abT只有一个非零特征值，您这是不是在已经确定“必有一个非零特征值（题意）”的基础上才得出的这个结论？而并非秩与特征值的直接关系？比如矩阵
001
000
000
秩为1，特征值仍全为零。
矩阵
010
001
000
秩为2，特征值仍全为零。
那么我能不能得出这么一个结论：矩阵的非零特征值必小于等于矩阵的秩？
请教陆老师，谢谢！

你的想法很对！应该说：“一个方矩阵的非零特征值的个数，必小于等于这个矩阵的秩”。
由此可知，当一个方阵的秩为 1 的时候，它的非零特征值的个数，最多只有 1 个。
因为前面我们已经求出了一个非零特征值，所以，可以肯定它有且只有这一个特征值。

luyuanhong · 发表于 2010-9-23 08:12

[这个贴子最后由luyuanhong在 2010/09/23 08:15am 第 1 次编辑]

下面引用由傻瓜学者在 2010/09/23 07:08am 发表的内容：
谢谢陆老师。
您的方法太巧妙了，比书上好得多，书上设了两个特征值未知数，推导很繁琐（所以有时即使书上有答案，我也愿意再请教您）。
关于这道题我还得继续请教您一个问题。
起初这道题我的解法是：
矩阵baT对角线上的和其实就是aTb，和为2，我当时也考虑过因为r(baT)=1，所以应该就有一个非零特征值，所以就是2。...

你用矩阵对角线上元素的和（也就是矩阵的迹）tr(b a^T)=tr(a^T b)=tr(2)=2 来做这题，
也很巧妙！
当然，这样做，还需要说明这个矩阵最多只有 1 个非零特征值。

傻瓜学者 · 发表于 2010-9-23 20:21

谢谢陆老师。这道题完全理解了。

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