赫渥特公式后的约束条件应该去掉

雷明85639720

赫渥特公式后的约束条件应该去掉
雷  明
（二○一五年十一月三十日）

赫渥特公式是怎么得来的，以前人们并不知道。所以就存在进行证明看其正确与否的理由。所以人们才用某亏格下所计算的色数n，寻找一个色数是n的完全图Kn，来看其亏格＜（n－3）（n－4）/12＞是否是计算色数时所用的曲面的亏格，来证明赫渥特公式是正确的。这种证明只是在不知该公式是如何得来的情况下，可以这样进行证明。但这种证明并不全面，因为并不只有色数是n的完全图Kn才能嵌入到某一亏格的曲面上，只要色数是n，但不一定非是完全图Kn，顶点数比n大的图，也是可以嵌入该曲面的，这是不言而喻的。甚至顶点数比n小的图也是可以同样嵌入完全图Kn所嵌入的曲面的，比如K（n－1）就可以与Kn嵌入同样的曲面。而现在，我们已经能从欧拉公式直接推导出赫渥特公式的情况下，还进行这样的证明就不应该了，是多余的了。因为从正确的东西直接推导出来的东西，只要在推导过程中没有错误的地方，推导出来的东西就是正确的，就可以直接作为定理去运用，不须要再进一步去证明了。所以我认为赫渥特公式是同样适用于亏格为0的曲面（即球面或平面的）的。沙特朗的《图论导引》书中说：“结合定理10.21和四色定理，就可以获得如下的结论”：即“对每个非负整数”赫渥特公式都是正确的。哈拉里的《图论》书中也说了在亏格为0的“特殊情况下”，赫渥特公式“就是4CC”。这两个结论同样是在不知道赫渥特公式是如何得来的情况下说的，而现在，在爱好者可以直接推导出赫渥特公式的情况下，就可以说在亏格为0时，赫渥特公式就是四色猜测。看来赫渥特公式，不仅只是包括有一个“四”色定理，而且包括了各种亏格曲面上的“多”色定理，比只有一个四色定理要色彩斑斓得多。沙特朗这里所说的“定理10.21”就是指赫渥特公式，这里的“四色定理”就是指1976年阿贝尔所“证明”的“四色定理”。沙特朗这里只所以把“定理10.21”和阿贝尔的“四色定理”这两者区分开来，主要是因为赫渥特以及后来的数学家没有对赫渥特图进行4—着色，赫渥特的公式后还一直有一个亏格不等于0的约束条件。因此哈拉里只能说在亏格为0的“特殊情况下”，赫渥特公式“就是4CC”。其实爱好者们早已对赫渥特图进行了4—着色。阿贝尔的“四色定理”就应该是包含在“定理论10.21”即赫渥特公式（定理）中的了，赫渥特公式后面的约束条件是应该去掉的。


雷  明
二○一五年十一月三十日于长安

注：此文已于二○一五年十一月三十日在《中国博士网》上发表过，网址是：