专家评论赫渥特地图着色公式

雷明85639720

专家评论赫渥特地图着色公式
雷  明
（二○一五年十二月六日）

赫渥特地图着色公式是怎么推导出来的，没有看到过赫渥特的推导过程，也没有看到过后人对其进行过推导，而只有评论和证明。赫渥特的地图着色公式是说，在亏格大于等于1的曲面上的图的色数是χ（Sn）≤＜（7＋√（1＋48n））/2＞（n＞0）。该公式中明明当亏格n＝0时，平面图的色数是χ（Sn＝0）≤4的，为什么公式后却有一个附加的约束条件（n＞0）呢。可能是因为赫渥特给出的这个公式不是经过推导而得到的，赫渥特本人以及后人又对赫渥特的图（极大平面图）不能4—着色，所以没办法，只好        附加和保留了这个（n＞0）的条件。
一九七六年，阿贝尔宣布他们用高速运转的电子计算机“证明”了四色猜测是正确的；一九九○年前后，又有爱好者雷明、张彧典、董德周、米勒等人都对赫渥特的图进行了4—着色，并且又证明了象赫渥特图型的构形是可约的。最近雷明又用“不画图、不着色”的方法证明了四色猜测是正确的，并直接用多阶曲面上图的欧拉公式推导出了赫渥特的地图着色公式，是应该把赫渥特公式后的约束条件去掉的时候了吧。
现在，我找出一些文献资料中有关专家对赫渥特地图着色公式的评论，共大家评论。这此专家虽然都不敢把（n＞0）的约束条件去掉，但也没有一个人能指出或证明为什么n＝0时，赫渥特着色公式不成立的原因或例子。
1、聂祖安翻译的卡波边波的《图论的例和反例》一书中说：“K7能嵌入园环面的事实可从Heawood地图着色定理推出，这个定理断言能嵌入亏格为n的面的所有图中的最大色数是（7＋ ）/ 2，对n＞0（Ringel和Youngs 1968）。既然四色猜想已经确定（Appel和Haken 1976），我们可以把n＞0改成n≥0。”
2、范益政等翻译的沙特朗的《图论导引》一书中虽没有附加条件，但又留了一道作业题，题号是10．21，要求证明当n＝0时，赫渥特的着色公式是不成立的（该书中只对单号作业题进行了解答或提示，且都是有参考答案的，但就正好这一道单号题没有参考答案。我想只所以没有答案，是因为作者也是没有办法证明当n＝0时公式是不成立的原因吧）；但作者最后又说；“结合定理10.21（这就是指赫渥特地图着色公式——雷明注）和四色定理（这是指1976年被阿贝尔“证明”了的四色猜测——雷明注）可获得如下结论。推论 10.22  对于每一个非负整数k，χ（Sk）≤＜（7＋√（1＋48k））/2＞。”
3、李慰萱翻译的哈拉里的《图论》一书中，作者哈拉里只证明了在某一曲面亏格n情况下，对于顶点数等于或大于按v＝＜（7＋√（1＋48n））/2＞所计算出的最大完全图的顶点数的图都是可以γ＝v＝＜（7＋√（1＋48n））/2＞—着色的，当然顶点数小于v＝＜（7＋√（1＋48n））/2＞也就一定可以γ＝v＝＜（7＋√（1＋48n））/2＞—着色了。他虽然在公式后注了（n＞0）的约束条件，但他并没有说n＝0时该项公式就是不成立的。而且还在最后说：“赫渥特地图着色定理γ（Sn）＝＜（7＋√（1＋48n））/2＞（n＞0）在“n＝0时的特殊情形就是4CC。”虽然说了“n＝0时的特殊情形就是4CC”，但公式后仍附有（n＞0）的约束条件，这就反映了作者哈拉里的矛盾心理。
4、李建中等翻译的韦斯特的《图论导引》一书中，在赫渥特的着色公式前也说了“如果G可以嵌入到Sγ（γ＞0）上，则 （G）≤ ”（这里的γ是曲面的亏格， （G）是可嵌入到该曲面上的图的色数）。书作者在进行了一段所谓的为了说明该公式不适用于亏格为0的话后，接着又说：“当γ＝0时，这里给出的这个关键不等式不成立，因此对可平面图来讲这里的论述是无效的，尽管γ＝0时公式简化为 （G）≤4。”明明的当亏格γ＝0时，公式结果是色数 （G）≤4，他却说“这个关键不等式不成立”，这不是在说瞎话吗，这实际上是在否定四色猜测。这和前面提到的几本书上的说法是有着实质上的差别的。
5、许寿椿教授所著的《图说四色问题》一书中，赫渥特的着色公式后并没有附加任何条件。但书中却说道：“对p阶可定向曲面上的地图着色希伍德给出了所需颜色数MP的如下公式：MP＝ ，称此公式为希伍德公式。……，这个公式是希伍德的一种猜测。他指出：球面，其环柄为0，即p＝0，此时MP＝0，这就是四色定理。按照希伍德的上述公式，对在轮胎（p＝1）上地图着色，要使其有公共边界的区域着不同的颜色，需要7（MP＝7）种颜色。同理，带有两个环柄的曲面是8字型面包圈，而其着色需要8种颜色；带有三个环柄的曲面着色需要9种颜色。希伍德仅仅证明了公式在几种简单情况下是成立的。”可见许教授也是认为在亏格为0时，赫渥特的公式“就是四色定理”。但许教授在后面又说：“一件惊人的怪事是：上述对更复杂的高阶曲面（p＞0）通用的希伍德公式，在1968年已经给出符合数学论证要求的简短的人工逻推理的证明。事实上，希伍德猜测的公式还包括非定向曲面的无限序列。无限的非定向曲面序列的着色最小颜色数也已经成功地证明了（仅仅发现一种情况，赫渥特的猜测有误）。唯独最简单的球面（或平面）四色问题，至今得不到类似的简知证明。”在后边教授又说：“凡是受过基础教育、有些基础科学常识的人，都知道：立体几何比平面几何复杂、困难；二元、多元微积分比一元微积分复杂、困难；三体或多体问题比二体问题复杂、困难；非定向曲面比定向曲面复杂、困难；等等。但令人奇怪的是：非定向曲面上的与四色问题对应的问题已经园满地解决了；定向曲面上除去最初的平面（球面）上的四色问题外，其他高阶曲面（有一个或多个环柄的球面）上的与四色问题对应的问题也都完满地解决了。唯独看起来是最简单、最低级、最初始的四色问题，没有获得完满解决。用那些解决高阶曲面获得成功的好办法，都无法对付这个最简单、最低级、最初始的四色问题。”从这里可以看出，实际上许教授还只是认为该公式还没有被证明在亏格为0时是成立的。但还是可以看得出，如果猜测一旦被证明是正确的时，公式后的这个附加条件是可以取掉的；许教授只是认为这一证明很难。
6、本人的看法：
前面几本书上都没有直接说出当亏格γ＝0时，赫渥特的公式是不成立，而只是说四色猜测现在还没有证明是正确与否，也就只能给其暂时注明成立的条件为亏格大于0；但在李建中所译的《图论导引》一书中则直接就说在亏格等于0时，赫渥特的公式就是“不成立”的，而且还给了一个所谓的“证明”。实际上该书作者的“证明”，既没有“证明”在亏格等于0时，公式为什么“不成立”，也没有证明在亏格大于0时，公式又是怎么成立的，而且在证明中还有很多的地方是错误的。这就是该书与以上其他几本书的说法有所不同的地方。
虽然各文献资料中的说法都不同，但基本上都是说明了赫渥特的着色公式只能用于n≥1的条件下，不承认赫渥特的地图着色公式在n＝0的条件下也是适用的。但他们在这里却都没有用别的任何理由说明该公式对于n＝0是不适用的，也找不到一个反例来说明有个别的可嵌入n＝0的平面（球面）的平面图的色数是大于4的。既找不出反例，也没有任何理由说明n＝0时公式不成立，但又不承认经过了严密数学推导后得到的赫渥特地图着公色式对于亏格n＝0时，色数为χ（Sn＝0）≤4的结论，这也不知这是为了什么。关键的问题是数学界还没有发现在这方面有人对猜测进行证明及所得到的正面结果，更没有人直接从多阶曲面上的欧拉公式推导出赫渥特的着色公式的。而现在研究四色猜的人却恰好都不是学数学专业出身的正统派人物，当然数学界是一定不会承认的了。如果数学界承认了直接由多阶曲面的欧拉公式推导出赫渥特的着色公式的过程是正确的，那么证明四色猜测就不须用具体的平面图去进行验证，为些工作就没有必要了，因为不可能把所有的平面图都验证完。
既然赫渥特的地图着色公式是能够直接从多阶曲面上图的欧拉公式推导出来的，那么它就不再是赫渥特原来认为的该公式只是一个猜测了。且在亏格n＝0时，γn≤4，那么就应该说该公式对于任何亏格的图都是正确的。也就说应该说四色猜测也就是正确的，可以上升为四色定理了。

雷  明
二○一五年十二月六日于长安

注：此文已于二○一五年在《中国博士网》上发表过，网址是：

雷明85639720

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