《数学辩证法》1.绪 论（节选）

青山

      1.绪 论（节选）


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　　很快，贸然闯进无穷集合论的数学家们就发现了许多悖论。如罗素的理发师悖论、康托的最大基数悖论等。

　　所谓“悖论”，就是那些从正确的观点出发，利用现有知识体系推导出来的荒谬结论。一个学科中出现了悖论，意味着该学科的理论基础一定存在着缺陷。

　　回顾数学的发展史，虽然过去也曾出现悖论，但在两千多年的时间里也不过是零星的少数，如无理数悖论引发了第一次数学危机，无穷小悖论引发了第二次数学危机。康托的无穷集合论进入数学之后，悖论的出现如雨后春笋，令人应接不暇。而每一个新悖论的出现，都是打在数学家脸上一记清脆响亮的耳光！

　　鼻青脸肿、眼冒金星的数学家们终于明白：数学的基础出了问题，第三次数学危机爆发了。

　　围绕着如何消除无穷悖论、彻底解决“数学到底是什么”的问题，数学界的三大流派——形式派、逻辑派、直觉派以及其他各路豪杰汇集巴黎，召开了一次英雄大会。

　　形式派帮主希尔伯特首先发言：“数学就是一套运算符号。”

　　逻辑派帮主罗素立即表示反对：“希帮主错了！数学是逻辑。”

　　直觉派帮主布劳威尔②一拳砸在桌子上：“都是康托这个家伙惹的祸，必须把实无穷彻底赶出数学！”

　　希尔伯特一脸的轻蔑：“做人要厚道！没有康托的大胆探索与改革，哪有数学今天的繁荣？你凭什么当院士？你带的一堆博士、硕士靠什么毕业？哼，没有人能把我们从康托为我们创造的乐园中驱逐出去！”

　　怀特海③轻轻推门进来，径直走到希尔伯特和罗素面前，声音不大但屋里所有人的都听见了：“外面谣传二位帮主不穿内裤……”

　　希尔伯特脸色铁青，牙关紧咬，一言不发。

　　罗素在任何时候都不失绅士风度。他不慌不忙，把头轻轻转过来，眼睛看着怀特海，镇定地问道：“东西呢？”

　　怀特海从包里掏出一叠报纸，翻到第3版，默默递与罗素。

　　那是克罗内克的追悼会，当地报纸用了整整一个版面报道这位德国数学大师驾鹤西归的消息。报道提到了他在学术上的成就，尤其是以他的名字命名的矩阵乘积。报道没有提及他对无理数的质疑，没有提及他对康托的打压，也没有提及他与希尔伯特、罗素的学术恩怨——这些事地球人都知道，在这种场合，提这些显然不合时宜。

　　文字消息之外，还配发了两幅照片。两幅照片共用一行简短的说明：一个葫芦引发的疑案。

　　第一幅照片上，希尔伯特、罗素身着黑色新款燕尾服（法国时装界称其为“无穷”式或“数学”式），正对着克罗内克的遗像低头默哀。从后面看过去，二人燕尾服臀部的地方，各有一个烧饼大小的、略扁的椭圆洞，合在一起看，如同一只平放的8字形葫芦。记者们照相的镁光灯打在上面，白花花地一片，格外刺眼。

　　罗素非常清楚，在这样的场合，众目睽睽之下，如果自己控制不住情绪而发怒，那就等于钻进了对手的圈套。所以，虽然心中老大不快，但他努力克制着自己，脸上没有任何表情，仿佛什么也没发生一样，继续看着报纸。

　　第二幅照片上的人是哥德尔。这位数学怪才悼念克罗内克的方式也颇为奇特：左手一块硬纸板制作的横幅举过头顶，右手一把扇子平贴在前胸。引人注目的是，横幅和扇子上面都有字。

　　横幅上面是一副挽联，但写成了数学方程组的形式：

        

　　扇面上是一首四言挽诗，采用了矩阵的形式。细看之下，居然还是一个对称矩阵，无论横着读竖着读，意思都一样：

        

　　罗素被彻底激怒了。他脸上的肌肉剧烈地抖动着，面色通红，说话的声音也变了。

　　“人品！人品到哪里去了？”他双手将报纸一合，“啪”地一声摔在面前的桌子上，气愤地吼道，“人怎么能无耻到这种地步？！”说罢把头一扬，身子靠在椅子上，闭上眼睛，喘着粗气，不说话了。

　　没有人再说什么。

　　空气仿佛凝固了。大厅里死一般地寂静。

　　策梅罗轻轻地站起身来，打破了沉默：“各位！各位请宽心，在下有个办法。”

　　众人的目光齐刷刷地转向了策梅罗。

　　策梅罗似乎胸有成竹。他看了看罗素，这才不紧不慢地说道：

　　“各位！定理是死的，但公理是活的。公理是什么？公理就是规则嘛！规则是谁定的？在座各位帮主定的。数学到底是什么，还不是各位帮主说了算吗？依我看，有悖论没什么可怕。再来一百个、一千个也不怕！数学不是自然科学，产生悖论正是数学的特色。没有悖论，那还叫数学吗？”

　　策梅罗一席话像黑暗中的一缕阳光，照亮了每个人的心头。大家豁然开朗：妙啊！这样一来，所有的过错都归到了数学身上，数学家们以不变应万变，不仅不用承担任何责任，而且占据了道德制高点，使自己永远立于不败之地。从此以后，无论产生多么荒谬的悖论，数学家总是有解决的办法——只要修改公理，随时制订新规则，避开悖论就行了。

　　众英雄惊喜交集，现场气氛一下子活跃起来。

　　戴德金首先站起来响应：“数字是人类心灵的自由创作。”

　　康托心头一热，鼻子发酸，眼泪差点掉下来。他感激地看了一眼老英雄戴德金，连忙附和道：“数学的本质在于它的自由性。”

　　罗素听了策梅罗的计策，打心眼里赞成，刚才的怒气早已烟消云散，瘦削的脸上挂满了喜悦。他干咳两声，端起茶杯，喝了一小口，润润喉咙，这才不慌不忙地说道：“数学是这样一门学科，在其中我们永远不会知道自己所讲的是什么，也不知道我们所说的是不是真的。”他的发言一如既往地夹杂着哲学气息，深刻，隽永，神秘，令人回味无穷。

　　庞加莱②一向对康托颇有微词，有些话甚至非常难听，听到策梅罗的这个妙计，心里不禁暗暗赞赏。他觉得今天是一个难得的机会，正好缓和一下他与康托的紧张关系，当即表明自己的立场：“今天我们可以宣称，绝对的严密已经实现了！”

　　数坛后起之秀、布尔巴基学派的“思想领袖”安德烈·韦伊也觉得是一个展示实力的机会，让他的“结构帮”在众英雄面前亮个相，以后说不定有机会与三大帮平起平坐。他兴奋得满脸通红，握紧拳头，大声说道：“数学的特别之处，就是它不能为非数学家所理解。”

　　果然不同凡响！老少英雄们心领神会，继而全体起立，为韦伊热烈鼓掌、欢呼。

　　于是，第三次数学危机以建立了一堆“公理集合系统”而获得了“圆满解决”！任何人，无论从鸡公理系统出发，还是从鸭公理系统出发，都可以推导出任何数学结论。至于选择哪一个公理系统，完全取决于个人爱好。正像旧社会里一个人得了病，县城十几家诊所，任你随意挑选。只是有一点千万要注意，一个病人不能同时请两个郎中，同时开两个药方，这叫“一口不吃两家药”。

　　如果有人问：“那么多赫赫有名的公理系统，哪一家才是正宗的？”这个问题比较难于回答。按安德烈·韦伊们的意思，如果你是数学家，就应该懂得行规，就不会问这个令人难堪的问题，让兄弟们下不来台。如果你不是数学家，那么这个问题你根本就没资格问，也没有必要问——说了你也不懂。

　　不过，安德烈·韦伊的话，总给人似曾相识的感觉。

　　谁说过呢？

　　突然间想起了安徒生。那篇脍炙人口的童话《皇帝的新衣》，有谁没有读过呢？

　　从前有个皇帝，特别喜欢新衣服。有一天，从外地来了两个骗子，为皇帝专门织造了一块神奇的布料，其神奇之处就在于：凡是愚蠢的人都看不见它！

　　比较一下安德烈·韦伊的话和骗子的话，不难发现二者的异曲同工。用专业的数学术语来说，二者具有极显著的相关性。

　　虽然我们不能断定与会的数学家们个个都是骗子，但可以肯定的是，安德烈·韦伊的逻辑与童话中骗子的逻辑完全一致！

　　更奇妙的巧合还不止这一点，两个故事的结局也极度相似。

　　在童话中，皇帝穿上了由神奇的布料制成的新衣服，在都城举行了一场声势浩大的庆祝游行，彰太平盛世，显赫赫国威。大街上旌旗招展，鼓乐喧天，人山人海，水泄不通。尊贵的官员、优雅的淑女、风度翩翩的绅士们毫不吝啬颂扬之辞，争先恐后地赞美着皇帝的新衣服。十几个皇帝的拥趸只看了一眼就当场晕了过去，被紧急送往医院抢救；三十多位外国贵宾眼睛闪着绿光，嗓子眼儿发干，一个劲儿地咽着口水；八十多位社会名流、文人雅士为今生有幸见到如此奇珍而流下幸福的热泪；而更多的市民则相信：此神衣必是上天所赐。那两个裁缝师，正是亲爱的上帝派来的光荣使者。

　　在现实中，现代数学披着各种“公理集合论”的华丽外衣闪亮登场，走进世界各大学、研究所、科学院的神圣殿堂，受到狂热的追捧与崇拜，所到之处，迷倒粉丝无数。数以百万计的学士、硕士、博士、院士、勇士、猛士、壮士们满怀无限敬意与虔诚，如饥似渴、夜以继日地刻苦钻研这些大牌数学家们创造出来的最新“学问”，不少教室的黑板上方还张贴着各种励志的口号：

　　要成功，先发疯！

　　我玩命，我怕谁？

　　珠峰再高，也怕铁锹！

　　练成高数，刀枪不入！

　　不像角马一样落后，要像野狗一样战斗！

　　数学数学我爱你，就像老鼠爱大米！

　　生时何必久睡，死后自会长眠！

　　只要学不死，就往死里学！

　　当然，由于这些“学问”根本就“不能为非数学家所理解”，因此那些远远称不上数学“家”的大学生、研究生以及其他非数学专业人士虽然使尽了全身解数，无奈自己智商仍然不够高，“大师”们的思想又太深奥，因此总是不得要领，在考试时中枪无数、惨不忍睹。多少“学霸”、“学神”、“学圣”羞愧满面、无地自容！播下龙种，收获跳蚤，巨大的反差令不少人深感绝望。有个即将毕业的数学专业女生就把自己的极度苦闷倾诉到了网上——

　　一直以为自己数学很牛气

　　进了大学才发现

　　以前的数学不叫数学

　　只能叫算术


　　在高斯、欧拉、黎曼、柯西、泰勒

　　傅立叶、莱布尼兹这些人面前

　　姐的智慧被赤裸裸地鄙视

　　姐只能羞涩地故作坚强


　　其他专业的只学了高等数学就说难

　　姐大学学了17门数学


　　数学分析，数值分析，数据分析

　　高等代数，近世代数

　　空间解析几何，微分几何

　　概率论与数理统计，离散数学，随机过程


　　常微分方程，偏微分方程

　　运筹学，数学模型，最优化方法

　　复变函数与积分变换

　　实变函数与泛函分析


　　学到哪一门，你哭了

　　学完数值分析，心已下沉

　　学完近世代数，泪已夺眶

　　上了实变的课姐就当场阵亡


　　轻轻的姐走了

　　正如姐轻轻的来

　　如果你下辈子遇到一个数学专业的女孩子

　　就娶了吧


　　数学分析要上三个学期

　　从头到尾都是极限、无穷

　　每次做完一道题

　　我都要注视着太阳升起的方向

　　问自己永远有多远


　　近世代数很薄很小很贴身

　　晚上睡觉也不怕翻身

　　不翻开这本书

　　你永远不知道它有多坑爹

　　整本书都是定义有没有

　　我的价值观世界观爱情观人生观被践踏得体无完肤


　　应用随机过程

　　从第二页开始就看不懂了

　　看了很多遍还是看不懂

　　师兄说：随机过程学了随机编以后考试随机过


　　实变函数与泛函分析

　　从第一页就看不懂了

　　学长说：实变函数最起码要学十遍

　　如果下次还能遇到这么难的书

　　你就再相信一次爱情

　　先哭一会……


　　此文一出，戳中了无数人的泪点，引来潮水般的伤感、哀叹与同情——


　　“一下子被治愈了……二次函数什么的太简单了！”

　　“看到就一阵发抖。”

　　“无语……感觉我们现在的数学太简单了……”

　　“不带这么坑人的，一阵发抖啊！”

　　“我突然有信心学好当下的数学了。”

　　“哥深有同感，咱们都是被高数压垮的人。”

　　“幸亏没去数学专业。”

　　“突然觉得自己抱怨学数学实在是太过分了。”

　　“离散数学……光一个名字都把我震疯了！”

　　“极限同情！”

　　“我真的哭了。”

　　“数学从来没懂过。”

　　“仰视着悲伤。”

　　“高数挂科的飘过。”

　　“白天不懂夜的黑。”

　　“泪飙过。理解。”

　　“太狠了。”

　　“默哀一万年。”

　　“真心伤不起啊！”

　　“大专狗给跪了……”

　　这些天真的、可怜的青年学子无论如何也搞不明白，自己到底错在哪了？

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chaoshikong

行吧，某宝上才20多元一本，我买一本你这个“神书”回来试试，问一下是不是，范秀山 著的这本，淘宝网上的销量不乐观啊。。。

chaoshikong

嗯，在得到您回复之前，我已经买了，因为青山，秀山不是一回事吗？？所以我就知道肯定是这一本了。

重生888

我也想买一本！