赫渥特公式与林格尔公式是同一个公式的两种不同的表达方式，是可以相互变换的

雷明85639720

赫渥特公式与林格尔公式是同一个公式的两种不同的表达方式，是可以相互变换的
雷  明
（二○一五年十二月十八日）

赫渥特的地图着色公式γ≤＜（7＋√（1＋48n））/2＞是不同亏格的曲面上的图的着色数（这里暂用尖括号＜ ＞表示其内的数字向下取整）。由于任何图的色数都等于它的最小完全同态的顶点数，所以该公式实际上也就是不同亏格的曲面上的完全图的顶点数。即γ（v）≤＜（7＋√（1＋48n））/2＞。而林格尔公式n＝〔（v－3）（v－4）/12〕（v≥3）则是不同顶点数的完全图的亏格数（这里也暂用方括号〔 〕表示其中的数字向上取整）。
这两个公式看起来大不相同，但实际上是同一个公式的两种不同的表达方式，且是可以相到变换的。
1、赫渥特公式变为林格尔公式
把赫渥特公式在取整前的形式γ（v）≤（7＋√（1＋48n））/2进行变换得
2γ（v）≤7＋√（1＋48n）
2γ（v）－7≤√（1＋48n）
（2γ（v）－7）2≤1＋48n
4γ2（v 2）－28γ（v）＋49－1≤48n
4γ2（v 2）－28γ（v）＋48≤48n
γ2（v2）－7γ（v）＋12≤12n
左边因式分解得
（γ（v）－3）（γ（v）－4）≤12n
（γ（v）－3）（γ（v）－4）/12≤n
即
n≥（γ（v）－3）（γ（v）－4）/12
由于曲面的亏格是正整数，所以上式还得向上取整得
n≥〔（γ（v）－3）（γ（v）－4）/12〕
同顶点数的完全图只可能有一种亏格，所以上式中的不等号就可以改成等号得
n＝〔（γ（v）－3）（γ（v）－4）/12〕
这就是前面提到的林格尔公式。
2、由林格尔公式变为赫渥特公式
把林格尔公式在取整前的形式n＝（v－3）（v－4）/12进行变换得
v2－7v＋12＝12n
v2－7v＋12（1－n）＝0
解这个一元二次方程得正根是
v＝（7＋√（49－4×12（1－n）））/2
v＝（7＋√（49－48＋48n））/2
v＝（7＋√（1＋48n））/2
因图的顶点数必须是正整数，所以还得向下取整得
v＝＜（7＋√（1＋48n））/2＞
因为同亏格下的完全图可以有多个，如亏格为0时有K1，K2，K3，K4，亏格为1时有K5，K6，K7，所以还要把等号改成不等号得
v≤＜（7＋√（1＋48n））/2＞
又因为完全图的色数就等于其顶点数，所以又有
γ（v）≤＜（7＋√（1＋48n））/2＞
这就是前面提到的赫渥特公式。
3、赫渥特公式和林格尔公式对于亏格为0的平面图都是适用的
这两个公式都是由经过证明是千真万确的欧拉公式推导而来的，欧拉公式对于亏格0的平面图是适用的，那么由其推导出来的这两个公式对于亏格为0的平面图也应是适用的。
对亏格是0的K3，K4，用林格尔公式n＝〔（γ（v）－3）（γ（v）－4）/12〕分别检验其亏格如下：
K3：n（K3）＝〔（3－3）（3－4）/12〕
＝〔0×（－1）/12〕
＝〔0/12〕
＝〔0〕
＝0
K4：n（K4）＝〔（4－3）（4－4）/12〕
＝〔（－1）×（0）/12〕
＝〔0/12〕
＝〔0〕
＝0
林格尔公式对于亏格为0的K1和K2却是不适用的，因为在对其推导过程中用的是极大图，顶点数是v≥3的，而K1和K2的顶点数均小于3，所以不适用。但我们可以把林格尔公式中的取整方向进行改变，把向上取整改为向下取整，成为
    n＝＜（γ（v）－3）（γ（v）－4）/12＞
这时林格尔公式就适用了。对K1，K2，检验如下：
K1：n（K1）＝＜（1－3）（1－4）/12＞
＝＜（－2）×（－3）/12＞
＝＜6/12＞
＝＜1/2＞
＝0
K2：n（K2）＝＜（2－3）（2－4）/12＞
＝＜（－1）×（－2）/12＞
＝＜2/12＞
＝＜1/6＞
＝0
K1和K2的亏格都是0，正确。
对亏格是1的K5，K6，K7，用林格尔公式n＝〔（γ（v）－3）（γ（v）－4）/12〕分别检验其亏格如下：
K5：n（K5）＝〔（5－3）（5－4）/12〕
＝〔2×1/12〕
＝〔2/12〕
＝〔1/6〕
＝1
K6：n（K6）＝〔（6－3）（6－4）/12〕
          ＝〔3×2/12〕
＝〔6/12〕
＝〔1/2〕
＝1
K7：n（K7）＝〔（7－3）（7－4）/12〕
          ＝〔4×3/12〕
＝〔12/12〕
＝〔1〕
＝1
求K8和K9的亏格：
K8：n（K8）＝〔（8－3）（8－4）/12〕
＝〔5×4/12〕
＝〔20/12〕
＝〔10/6〕
＝〔1.66667〕
＝2
K9：n（K9）＝〔（9－3）（9－4）/12〕
＝〔6×5/12〕
＝〔30/12〕
＝〔15/6〕
＝〔2.5〕
＝3
求K25的亏格：
K25：n（K20）＝〔（20－3）（20－4）/12〕
＝〔17×16/12〕
＝〔272/12〕
＝〔136/6〕
＝〔22.66667〕
＝23
用赫渥特公式γ≤＜（7＋√（1＋48n））/2＞求亏格为3，2，1，0的图的色数如下：
当n＝3时，γ（3）≤＜（7＋√（1＋48×3））/2＞
                  ≤＜（7＋√145）/2＞
                  ≤＜（7＋12.04159）/2＞
                  ≤＜19.04159/2＞
                  ≤＜9.520795＞
                  ≤9
当n＝2时，γ（2）≤＜（7＋√（1＋48×2））/2＞
                  ≤＜（7＋√97）/2＞
                  ≤＜（7＋9.8488578）/2＞
                  ≤＜16.8488578/2＞
                  ≤＜8.4244289＞
                  ≤8
当n＝1时，γ（1）≤＜（7＋√（1＋48×1））/2＞
                  ≤＜（7＋√（49））/2＞
                  ≤＜（7＋7）/2＞
                  ≤＜14/2＞
                  ≤＜7＞
                  ≤7
当n＝0时，γ（0）≤＜（7＋√（1＋48×0））/2＞
                  ≤＜（7＋√1）/2＞
                  ≤＜（7＋1）/2＞
                  ≤＜8/2＞
                  ≤＜4＞
                  ≤4
   求亏格n＝10时的曲面或图的色数：
γ（10）≤＜（7＋√（1＋48×10））/2＞
     ≤＜（7＋√481）/2＞
     ≤＜（7＋√481）/2＞
     ≤＜（7＋21.9317）/2＞
     ≤＜28.9317/2＞
     ≤＜14.46585＞
     ≤14
4、用林格尔公式去证明赫渥特公式的做法是错误的
    赫渥特的地图着色公式与林格尔的完全图的亏格的公式，都是从多阶曲面上图的欧拉公式推导出来的，且先得到的是赫渥特公式，后得到林格尔公式，因些也可以说林格尔公式是由赫渥特公式推导出来的。所以说不能用林格尔公式去证明赫渥特公式的。这两个公式是同一个公式的不同表达形式，是可以相互变换的。要得到赫渥特公式正确，只能是从欧拉公式中推出，而不能用林格尔公式去证明。哈拉里在其《图论》一书中，韦斯特在其《图论导引》一书中，以及沙特朗在其《图论导引》一书中都是用了林格尔的公式对赫渥特公式进行证明的，这都是不对的。本来赫渥特公式实质上就是某亏格下的一个完全图的色数，也是该完全图的顶点数；现在又拿来一个顶点数相同的完全图，再反过来求其亏格，当然是一定会得到原来的亏格数的。
    哈拉里和沙特朗证明的结论还仍然是在亏格为平面图时，赫渥特的公式也是适用的：哈拉里说赫渥特公“式在n＝0时的特殊情形就是4CC。”这里说得可直截了当。沙特朗则说：“对每个非负整数k，χ（Sk）＝＜（7＋√（1＋48k））/2＞。”这里所说的“非负整数”当然就包括0在内了（但这里关键的时刻书中把公式中的“7”字印成了“1”字）。而只有韦斯特仍坚持认为：“当γ＝0时，这里给出的这个关键不等式不成立，因此对可平面图来讲这里的论述是无效的，尽管γ＝0时公式简化为χ（G）≤4。”这里说的那个“关键的不等式”就是指赫渥特公式χ（G）≤＜（7＋√（1＋48γ））/2＞。
雷  明
二○一五年十二月十八日于长安
注：此文已于二○一五处十二月十八日在《中国博址网》上发表过，网址是：

雷明85639720

，，，，，，，，，，

雷明85639720

，，，，，，，，，，

雷明85639720

，，，，，，，，

雷明85639720

,,,,,,,,,

雷明85639720

，，，，，，，，