赫渥特地图着色公式的来历（修改稿）

雷明85639720

赫渥特地图着色公式的来历（修改稿）
雷  明
（二○一五年十二月六日）

【摘  要】从多阶曲面上图的欧拉公式推导出了多阶曲面上赫渥特的地图着色公式。
【关键词】四色猜测  最小完全同态  欧拉公式  多阶曲面  亏格  赫渥特公式
任何图把不相邻的顶点通过收缩运算，最后都可得到一个顶点数最少的完全图，叫做原图的最小完全同态。这个最小完全同态的顶点数就是原图的色数。
设任意图的最小完全同态KV的顶点数是v，而顶点数v≥3的图都有3f≤2e（f是面数，e是边数）的关系，把f≤2e/3代入多阶曲面上图的欧拉公式v＋f－e＝2（1－n）（n是图的亏格）得
    e≤3v－6（1－n）（v≥3）                      （1）
（1）式就是多阶曲面上图中顶点与边的关系。再把完全图边与顶点的关系e＝v（v－1）/2代入（1）式中得
v（v－1）/2＝3v－6（1－n）
v2－7v＋12（1－n）≤0                          （2）
解这个一元二次不等式（2），得其正根是
v≤（7＋√（1＋48n））/2  （v≥3）
由于顶点数v必须是整数，所以上式还得向下取整，得
v≤＜（7＋√（1＋48n））/2＞ （v≥3）       （3）
（3）式中暂用＜ ＞表示其中的数字向下取整。因为完全图的色数γ就等于其顶点数v，即有γ完＝v，所以又有多阶曲面上图的色数是
γ曲≤＜（7＋√（1＋48n））/2＞ （v≥3）     （4）
这就是赫渥特的多阶曲面上的地图着色公式。
该公式（4）是从已经经过证明是完全正确的多阶曲面上图的欧拉公式推导出来的，欧拉公式适用于平面图，则这个公式也就适用于平面图。所以式中当曲面或嵌入其上的图的亏格n＝0时，得γ平≤4；加上v＝1和2的平面图K1和K2的色数分别是1和2，也都均小于4，所以对于任何平面图来说，都有γ平≤4的结论。这就是四色猜测。四色猜测就得到证明是正确的。

雷  明
二○一五年十二月六日于长安

注：此文原文已于二○一五年十二月六日在《中国博士网》上发表过，网址是：

修改后又于二○一五年十二月二十三日在《中国博士网》上发表过，网址是：

雷明85639720

，，，，，，，，

雷明85639720

，，，，，，，，

雷明85639720

，，，，，，，，

雷明85639720

,,,,,,,,,,

雷明85639720

，，，，，，，，，

雷明85639720

，，，，，，，，

雷明85639720

，，，，，，，，

雷明85639720

,,,,,,,,,,

雷明85639720

,,,,,,,,