四色定理的数学证明

云影随风

摘要：
    文中采取抽象方法，将复杂的图形关系转化为简单几何关系，以全新的角度，简捷的论证过程，用数学归纳法论明了四色定理的成立。
论证目标：
“将平面任意地细分为不相重叠的区域，每一个区域总可以用1，2，3，4这四个数字之一来标记，而不会使相邻的两个区域得到相同的数字。”或者：“任何一张平面地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色。
一、地图的图形概念：
图块——封闭线构成的图形，表示地理上的某个行政区划，是构成地图的基本要素。地图上的图块以色区分，这里简称为色块
图块之间的相互关系：
1、相邻或接壤：两个图块间存在至少一段共线（共同边界），称之为相邻或接壤，即实际地域存在接壤关系。
2、不相邻（接壤）：两个图块间没有共线存在。一点或多点接触被认为是不相邻，因为用相同的颜色给它们着色不会引起混淆。
相邻图块的颜色区分：
    地图在涂色时，相邻的图块必须以不同的颜色区分，不相邻图块不受此限制。
二、图形要素的抽象化假设：
地图上的图块具有三个重要要素：“位置”、“相邻接壤”关系和“区分色”（涂色），为方便研究，我们把这三个要素分别简化为：
位置——“点”，图块的尺寸抽象为点，其位置以点的位置代表。
相邻接壤——点间连线，这里称之为“邻接线”，即相邻接壤线。
颜色标记——以R、G、B、Y……标记（R表示红色、G为绿色、B为蓝色、Y为黄色等，也可以用其它方式如1、2、3……系列来标记，为更直观，论证中选用R、G、B、Y……系列标记）。
这样，涂红色的图块就“点R”表示，涂绿色的图块就以“点G”表示，余类推。它们如果相邻接壤，则在它们间画一条连线（邻接线）。
例如，地图上有图块A和图块B相邻接，首先，它们可以简化为点A和点B及它们间的连线AB；见（图1）。

图块A和B的相邻接，用点A和点B及其连线AB来表示它们的相对位置及相邻接关系。点A和点B分别表达它们的位置，连线AB表达了它们的相邻接壤关系。
再如图块A涂红色，图块B涂绿色，则点A标示为R，点B标示为G，这样，相邻接的红色块A和绿色块B最终简化为颜色点R（简称点R，其余类同）和颜色点G及其连线RG。地图图形的三个要素至此简化为色点和色点间的连线——邻接线，其中，色点表达位置和区分色，邻接线表达相邻接壤关系。
点R、点G、点B……它们都是赋于颜色的点，通称为“色点”，本文的示例图中，为更醒目，色点均涂了相应的颜色。
邻接线的性质：
邻接线是两个色点间的连线，表达了地图上色块间的相邻接壤关系，有无相邻接壤以有无邻接线表示。邻接线有以下性质：
1、邻接线可以是直线或曲线。它表示的是邻接状态，所以可以是任何形状的线。
2、邻接线不可以交叉穿越，但是，只要没有别的邻接线阻隔，它可以绕过其它邻接线的端点（图块点）而相连。这是因为实际图形是面状态，而以色点表达的位置是点状态，在表达邻接关系时，邻接线有时需要“拐弯”。
在实际图形中，相邻是两个图形相连，在其一侧的图形不可能穿越它们而与被隔开的另一侧图形相邻，但是它们可以绕过与之相邻接的图形与另外的图形相邻接。例如中国地图中，甘肃省不会穿越内蒙古自治区或宁夏回族自治区的版图与陕西省相邻接，但是它却是绕过宁夏回族自治区版图的南端与陕西省相邻接。
极限邻接概念及极限邻接研究：
当由一个色块群组成的一幅地图，如果以每两个色块相邻接记为1的话，其邻接数所能达到的最大值状态，在这里表述为极限邻接状态。也即在由n（n足够大）个色块点组成的色块点集合中，它们所能连出不交叉连线（邻接线）条数的最大值时，即为这n个色块点的极限邻接状态。极限邻接就是邻接的最极端状态。
极限邻接表明在这n个点集合中，所有能够被不交叉连线——邻接线连接起来的点均已连接，我们无法再增加一条点与点之间的不交叉连线——邻接线。
三、四色定理证明：
有了以上的抽象简化，以下我们来研究在极限邻接状态下的n点间的邻接关系。证明过程中如不加说明，均是指在极限邻接状态下。
设平面上有三个点R、G、B（点R代表实际图形的红色块，点G代表绿色块，点B代表蓝色块），将它们两两相连，则形成一个三边形RGB。三边形RGB表示了三个相邻的色块。其中，连线RG表示色块R与色块G相邻，连线RB表示色块R与色块B相邻，连线GB表示色块G与色块B相邻。连线RG、RB、GB为相邻线。RGB可称作邻接三边形（由于邻接线可以是曲线，邻接三边形可以为曲边三边形，为区别几何学上的三边形，称之为邻接三边形，但为叙述上的简洁起见，以下仍将邻接三边形简称为三边形）。见图2：

事实上，在球面条件下，RGB内域直观上是一个三边形，而其外域，虽然直观上不好理解，但其本质上仍然是一个以RGB三边连线为界限的三边形！如图3所示。
我们沿球面移动R、G、B三点，不断扩大内域，当RGB三边形内域面积超过半个球面时，我们可以看到，它的外域这时俨然就是一个直观的三边形了。平面在数学上认为是曲率半径无限大（曲率无穷小）的球面，所以，三点RGB组成的三边形实际上是内、外域各一个，是二个三边形。无论是内域还是外域，它们相同，都是三边形，在后续的研究中，为直观、方便理解起见，所使用的图例选择在内域进行推演。

图3球面上的RGB三边形
我们通过在三边形内不断加入色点来研究这些色点的邻接状态。
第四色点的加入
现在，我们在三边形RGB内加入一个点Y（表示黄色色块，由于Y点与R、G、B均邻接，所以要用与R、G、B不同的颜色——第4色来进行区分），显然，从点Y可以向而且只可以向三边形RGB的三个顶点R、G、B各引一条邻接线，RGBY四点间达到极限邻接状态，共有6条邻接线，三边形RGB则被切割成RYB、RYG、BYG共3个三边形，加上RGB的外域三边形，共有4个三边形。见图4：

第五及更多色点的加入
对于四色定理，只有大于四个色点才有真正的意义，现在我们增加一点色点到总数五点，根据图4，由于全图域巳被色点R、G、B、Y及其邻接线分割成 RYB、RYG、BYG及RGB（外域）4个三边子域，它只能在其中择一“插入”，由于三边形只有三个顶点（色点），并且这个点无法与三边形外的点发生邻接（邻接线的不可交叉性），这个新加入的色点的颜色只需而且只能用与这三个点不同的颜色，和图4的情况完全类似。比如我们在RYB三边形中加入第五色点，这第五色点必然是蓝色的B’点，在极限邻接状态下，B’点最多可以向R、G、Y点各引一条邻接线，受邻接线RG、RY、GY隔离，B’点与原有的B点无法邻接（如果能够邻接，B’点就不能为蓝色，则此时需要第五色）。此时，邻接线增加3条，总数为9条，子区域增加2个，全图域分割为6个三边形子区域。见图5。

图5：加入第5色时的极限邻接
在图5中，我们可以看到，三边形RGY内的B’点无法突破三边形RGY的隔离向处于RGY三边形之外的B点进行邻接。还原为实际图形，就是B’点代表的图形被R点、G点、B点代表的三个图形所包围，当然不能与包围圈之外的图形接壤。由此我们可以得出结论：处于三边形内的点不能与三边形外的点引邻接线，或者说，处于三边形内的点只能与三边形的三个顶点各引一条邻接线。

第六点及更多点的加入依然遵循此规律，见图6：

图6：加入更多点时的情形
在图6中，由R、G、B、Y、B’、R’、G’七个色点构建了一个极限邻接图形，它有3*（7-2）计15条邻接线，由于邻接线的隔断性，未建立连接的点B’与R’间、B’与G’间、R’与G’间以及B’与B间、R’与R间、G’与G间，不能建立邻接线，表明在实际图形中它们被图块所隔断。在三边形BY R’内新加入的G”点只能与B点、Y点、R’点、建立邻接线，而不能与其它任何点建立邻接线，能增加的邻接线数只能是3条。
（在图6中，B’点、R’点、G’点与原有的B点、R点、G点是为了方便图解而作顺序区别，故B’点、R’点、G’点的上标完全可以去除，接下来的研究中，均取消上标。）
n个有限色点的情况：
继续加入色点，会将全图域分割为更多的三边形，这些三边形的顶点总是R、G、B、Y四种颜色中的三种，即全部是RGB、RYB、RYG及BYG这四种三边形。而新加入的点，必然是加入到这些三边形中的某一个内，它的颜色也只需要与构成这个三边形的三个顶点的色块点颜色相异的第四色，例如，在RGB三边形中，加入的色点为Y色点，以此类推。
每加入一个色点，就增加3条邻接线（我们是研究极限邻接状态，邻接线增加数为最多数3），并增加分割出2个三边形子区域（由一个三边形子区域分割成3个三边形子区域，增加数为2）。当图域上有n个色点时（n大于3），子区域和邻接线呈现以下规律：
n      3    4   5   6    7   8  ……  n
子区域数   2    4   6   8   10  12  ……2（n-2）      
邻接线数   3    6   9   12  15  18  ……3（n-2）
所以，我们得出：所有三边形子区域和邻接线的总数有如下规律：
在色点总数为n时，
对于子区域：Σn（子区域）=2（n-2）…………………………①
对于邻接线：Σn（邻接线）=3（n-2）…………………………②
邻接线总数3（n-2）是判断是否是极限邻接状态和是否需要第五色的准则，（少于它，不是极限邻接状态，这里暂不研究它），多于它而打破这个规律，四色定理就不成立！比如n为某数时，邻接线多1 ，出现3（n-2）+1时，表明某个三边形出现了引出4条邻接线的情况，但由于处于三边形内的点只能与三边形的三个顶点各引一条邻接线，一个三边形引出4条邻接线的情况不会发生。
由于我们在加入色点时始终只需要使用R、G、B、Y四种色点，并且，所有子区域都是三边形，所以，所有子区域都是由R、G、B、Y四色中的三色点为顶点构成的三边形，即只能构成RGB、RYB、RYG及BYG四种类形的三边形。
n为无限色点的情况：
通过以上的分析，在有限色点时，如5色点时，6色点以至于更多色点n（n为有限数）时，四色定理成立，那么，在无限色点时情况怎么样？
按数学归纳法原理，我们选择以n=5为起点（n小于5时没有意义）。
当n=5时，我们有9条邻接线和6个三边形（RGB内域不重叠的三边形5个，RGB外域1个，参见图5）。符合：
Σ5（子区域）=2（5-2）=6
Σ5（邻接线）=3（5-2）=9
假设在n（n为无限）=k时，
Σk（子区域）=2（k-2）
Σk（邻接线）=3（k-2）
均成立，那么在n=k+1时，我们增加了三条邻接线和2个子区域，即：
Σk+1（子区域）=2（k-2）+2=2（（k+1）-2）
Σk+1（邻接线）=3（k-2）+3=3（（k+1）-2）
将n=k+1代入，即得到：
Σn（子区域）=2（n-2）
Σn（邻接线）=3（n-2）
和有限n色点时得到的结果一致！
当（k+1）色点加入时，全图域被3（k-2）条邻接线分割成2（k -2）邻接三边形子区域，它们全部由RGB、RYB、RYG及BYG这四类三边形组成，第（k +1）色点只能加入到总数为2（k -2）个邻接三边形子区域中的某个子区域中，或RGB类三边形子区域、或RYB类三边形子区域、或RYG类三边形子区域、或BYG类三边形子区域，但无论加入哪一类子区域，它只需要采用三边形三顶点色点相异的第四种色点即可。
从邻接三边形内加入色点的推证上，我们证明了只需要R、G、B、Y四种颜色，从邻接线的总数规律推理上，证明我们不需要第五色，所以在极限邻接状态下，四色定理成立！
由于非极限邻接状态时，减少了邻接，它对色点的约束少于极限邻接状态，所以在极限邻接状态下成立的四色定理，在非极限邻接状态时依然成立。
以1、2、3、4取代R、G、B、Y，便达到了我们需要论证的目标。至此，四色定理证明完毕。

后记
现实中的地图图形的邻接基本上都是非极限邻接，由于四色定理最初是从实践中得出的猜想，表明四色定理在非极限邻接的实践中相符合。而极限邻接状态下，当图块足够多时，找到它正确的配色方案其实很难。这也表明极限邻接状态下的四色定理证明可以包容非极限状态。

云影随风

期待论坛各位数学大神予以斧正!本人QQ号:82346595

雷明85639720

云影随风朋友，我支持这种观点。实际上这种观点在网上已有多处多人的证明。你可以就在这里看看我的《数学归纳法证明四色猜测（修改稿）》，就是这种证明方法。但因为我们都是爱好者，不是专业的数学家，不可能有人重视我们的成果，他们看都不可能看一眼的。哎，在这种学术研究的环境下，不知埋没了多少人才哟。我只所以认为你也是一个爱好者，是因为你没有用到图论中的术语，一切都是你自已重新定义的。不过我还是认为你要好好的学习一下图论，多用已有的图论术语，这不但有种于读者的阅读，也可以缩短你的文章长度。你的色点图实际上就是图论中的对偶图；你的所谓极限图，实际上就是图论中的极大图。别外增加的顶点，不一定都在三边形的内部，也可以在三边形的一条边上，当增加的边数最大时，也得到的是一个所有面都是三边形的极大图。在你最后的后记中，我认为有一点说得不对，即“现实中的地图图形的邻接基本上都是非极限邻接”，你可以对实际地图中的图形作一下你的色点图，即作一下其对偶图，看一下所有的面，是不是都是三边形。你的文章最大的一点成功之处，是把图的内部面与外部面，用一个球体的图例说得非常的明白，好一些专业的人士也不一定能做到这一点。祝我们的观点都能得到公认，也算我们都为科学研究事业作出了一点贡献。

云影随风

谢谢雷明朋友！确实，我没学过图论，所以术语都是自定义的。文章的长度也是可以缩短的，有点是啰嗦了，主要是为了把问题说得更清楚。至于你所说的点出现在邻接线上的情况，我认为是不可能出现的，理由如下：首先，邻接线代表是状态，而不是真实的线，其二，如果点出现在邻接线上，要么打断了原有的邻接，要么就是被原有相邻接的二个图块所包围，形成二包一形，打断原有邻接是不可以的，二包一则不形成极限邻接。邻接线的作用其实就是两个，一是表示已有的图块的两两相连，二就是排它性即不可跨越性。所以，新插入的点只能在三边形内部。
再次感谢你的关注和建议。

雷明85639720

增加的点可以出现在某个三边形的一条边上的，只要所得到的图仍是一个极大图就可以了，如下图中在极大图K4（由顶点A、B、C、D构成的极大图）的一条边AD上增加一个顶点E，连接E、B和E、C，得到的仍是一个极大图。所谓极大图就是所有面都是三边形面的图，它的边数在相同顶点数的图中是最多的，边数等于3倍的顶点数减6，这样的图，若再增加边，就出成在顶点以外有交叉边的非平面图了。

网上有多少人用了这种方法证明四色猜测的。你可以看一看，尽管各用各的术语，但基本都是用对极大图增加顶点的办法来进行证明的。

云影随风

你这个图打断了AD的原有邻接，AD间由有邻接变为无邻接，相当于先有E点然后在BCE中加入D点，也仍然是在三边形内加点。如果以AD间有邻接为先决条件，E点就只能在AD邻接线的左侧或者右侧，也就是只能在三边形内加点。

雷明85639720

你这样的规定就太死了，完全应该脱离你所叫的“图形”的概念。现在就是在研究纯数学。就是通过增加顶点，得出仍是极大图的平面图，无论怎么样增加顶点和边，只要得到的图的面都是三边形面就可以了。你不要头脑里老是“原先”、“原有”怎么的，不要自已捆自已的手脚了。你现在完全可以把地图抛开，来专门研究极大图的着色问题。由于给地图中面的染色就相当于对平面图的顶点着色，所以只要证明了平面图的顶点着色色数是不大于4的，那么地图的色数也一定是不大于4的。我还是建议你系统的好好的学习一下图论的有关知识，要尽量用大家都公认的学术语言，也可以节约你的篇幅。对读者和你本个都是有好处的。当然我说的这些都只是建议了。

云影随风

图论能看懂的是小众吧。我的证明中学生就可以看懂。四色定理源于地图，当然不能违背地图的基本规律。所谓顶点，它代表的是地图上的图块。数学是一种工具，它服务于所需要服务的对象。极大图是什么我不懂，应该也不需要懂吧？因为我证明的是代表图块的点可以无限多个，而不破坏四色关系，这不正是四色定理需要证明的吗？

任在深

注意！
          四色定理的数学结构关系式：


                      (1)    f(s)=3X^2+1
                             
             1.X=1，     f(s)=3×1+1   
              2.X=2,       f(s)=3×4+1
              3.X=3,       f(s)=3×9+1
              *  *  *         *      *     *
              n.X=i         f(s)=3i^2 +1
              
             以上可以在半球上（即圆上四着色）！

雷明85639720

云影随风，你的文章小学生能看懂就能看懂吧。不过地图也是一种图，是所有顶点都是3度（即连着3条边）的3—正则图，你所研究“图形”也还是在研究着“图”的。给你那个3—正则图的面（就是你所谓的“图形”）着色，就是给它的对偶图的顶点着色，是一样的道理。你硬要那样研究，那就那样吧，权当我没有说。你的那种研究方法只要数学界的图论专家们能看得上，我也就烧高香了。因为我们的研究方法表面上虽不相同，但实质上是相同的。