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科学之数学美

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发表于 2019-3-8 13:05 | 显示全部楼层 |阅读模式
科学之数学美

数学是现代科学中不可或缺的部分,因此科学中处处可见数学美。美感与文化有关,人们对美的欣赏则与个人的文化水平有关。科学也是一种文化,科学之美,也与一个人的教育程度、科学素养有关。即使是学理工科的,也并不是每个人都能欣赏科学理论中的数学之美。理论物理学家们常说,麦克斯韦方程,两个相对论,都体现了数学美。然而,没有一定数学修养的人,看到的只是一大堆繁杂讨厌的数学公式,哪有什么“美”呢?

数学公式能激发数学学者们的“美感”吗?科学家们用科学实验的方法来测试和证明这点,同时也研究美感的来源与大脑活动的关系。例如,知名英国数学家阿提雅(M. Atiyah)在2014年曾经利用核磁共振造影对大脑扫描,进行了一个实验,结果证实了:数学家对数学的美感,与人们对音乐绘画等艺术产生的美感,是来源于脑部的同一个区域:前眼窝前额皮质(mOFC)A1 区。

阿提雅选择提供了60个包含许多领域的数学公式,让16位数学家受测,分别对这些公式从丑到美打分数,并同时进行脑部扫描,测量产生数学美感时大脑中情绪活跃的区域和程度。他们在论文中说明了实验分析的结果,显示数学或抽象公式不但激发美感,使人产生精神上的亢奋,而且在大脑中和艺术美感共享相同的情绪区域!

有趣的是,这些数学专业人士,在提供给他们的60个公式中,评选出了一个“最丑的”和一个“最美的”数学表达式。它们分别是下面两个。

最丑的:

科学之数学美-1.jpg

最美的:

科学之数学美-2.jpg

最丑的就没有什么可评论的了,那是一个看起来十分复杂令人费解的表达式,用无穷级数来计算 1/π。况且,这只是从60个式子中选出来的,如果给出更多的选择可能性,一定还有更复杂,更丑的!

最美的公式被称为“欧拉恒等式”,当然也仅仅是从60个例子中脱颖而出的。不过,欧拉恒等式一直受到科学家们的好评,例如,美国物理学家理查德·费曼(Richard Phillips Feynman)就曾经称这恒等式为“数学最奇妙的公式”。

奇妙在哪里呢?因为它把自然界五个最基本最重要的数学常数e、i 、π、1、0极简极美地整合为一体。其中e是自然对数的底,i是虚数的单位,π是圆周率,剩下的1和0,在数学上的地位就不言自明了。奇妙之处在于,凭什么把这5个常数,如此简洁地连系在一起?其中还包括了像p =3.141592653....,e =2.718281828....,这种奇怪的超越数?

这条恒等式第一次出现于1748年瑞士数学家莱昂哈德·欧拉(Leonhard Euler)在洛桑出版的书中,是以下复分析欧拉公式当x = π时的特殊情况:

科学之数学美-3.jpg

但是,不懂数学的人是无法欣赏欧拉恒等式和欧拉公式之美的。如果不知道e、i 、π符号所表达的意思,不懂复数,不懂幂次,不知道无理数和三角函数以及它们代表的几何意义,就无法理解这两个公式体现的美。并且,随着你越清楚这些概念在数学、量子力学、工程中的威力和联系,你就就越会赞叹这简洁公式之慑人之美!

由上述“最美”、“最丑”的结果还可发现,大多数数学家是把朴素简单看作数学之美的重要属性。

数学美不仅使数学自身美不胜收,也给科学美锦上添花。科学中的数学美有多种形式,主要有:简洁之美、逻辑之美、对称之美、完备之美。

·简洁之美

科学用数学来凝练和浓缩,这是简洁之美,例如上面的欧拉恒等式。把复杂的事情简单化,是一种本领和智慧。简约不等于简单,大智若愚,大道至简,用简去繁,以少胜多。中国清代著名书画家郑板桥用“删繁就简三秋树” 表明他的书法及文学理念,主张以最简练清晰的笔墨,不同凡响的思想,表现出最丰富的内容。实质上与西方逻辑中常说的所谓“奥卡姆剃刀”:“如无必要,勿增实体”的 原则,是一个意思,同属“简洁之美”。

科学的目的本来就是要寻找对自然现象最简单最美的描述。删除一切没必要的多余“实体”,留下最少的。多样性中的简单性,才意味着事物之间的和谐。

科学研究中的奥卡姆剃刀原则意味着:当你面对导致同样结论的两种理论时,选择那个最简单的,实体最少的!例如,物理学家研究统一理论,基本物理规律、各种粒子、和相互作用力,是理论中的实体。那么,统一理论所追求的就是一种简洁美。就是用最少数目的物理规律来描述自然现象;用最少数目的“不可分割基本粒子”来构成所有的物质;用最少种类的“力”来描述物质之间的相互作用,这才符合奥卡姆剃刀原则!

分形和混沌的理论,将自然界及科学理论中,看起来十分复杂的现象,通过“自相似性质”用几个简单的方程来描述,也是一个追求“简洁美”的例子。

麦克斯韦(James Clerk Maxwell 1831年—1879年)将电磁学中的高斯定律、高斯磁定律、法拉第感应定律、麦克斯韦-安培定律等整合在一起,建立了麦克斯韦方程组,描述电和磁的性质,并成功地得出,光也是一种电磁波的结论。

我们现在看到的麦克斯韦方程由4个简洁而美丽的方程构成。然而,在麦克斯韦因胃癌而去世的那一年,麦克斯韦方程组还不是目前这种简洁的形式。那时候的方程组包含了20个方程,这种看起来并不漂亮、暂时也没有实验证据的“整合”,使人们当年反对麦克斯韦的观点,不接受他的理论。

如今麦克斯韦方程组具备的简洁美,要归功于一个自学成才的英国人奥利弗·亥维赛(Oliver Heaviside,1850年-1925年)。

亥维赛小时家境贫寒,还患过猩红热,因此造成他有点儿聋。就是这样一个没有接受过正规高等教育、作风颇为古怪的传奇人物,自己教会了自己当时世界上最高深的理论:微积分和电磁学。亥维赛善于用直觉进行论述和数学演算,在数学和工程上都做出了许多原创性的成就。但也许与其自学的背景有关,他不太重视严格的数学论证,因而他提出的算子微积分开始时遭到数学家们的反对。

亥维赛不在乎别人的反对,独自创立了矢量微积分学,即如今物理学中常用的矢量分析方法。亥维赛利用新发明的矢量微积分符号,在麦克斯韦逝世的六年之后,1885年,将麦克斯韦方程组改写成为今天人们所熟知的4个方程的简洁对称的形式。

1891年,亥维赛成为英国皇家学会会员。1905年,德国哥廷根大学授予亥维赛一个名誉博士头衔。这是学术界给这位自学成才学者的承认和嘉奖。

·逻辑之美

科学一旦形成了理论,首先要有逻辑性,否则就还只是一堆实验数据和现象罗列,算不上理论。钱学森曾经说过“科学工作源于形象思维,终于逻辑思维。”也是这个意思。

因此,从事自然科学研究不一定需要多么复杂的头脑,但却一定需要清晰的逻辑思维。古希腊就开始的欧几里德几何是逻辑体系最初最好最经典的样板。

一个符合逻辑的理论体系,是从几个基本的原理出发,用清晰简洁的思路和推论建立起整个理论大厦。例如,爱因斯坦当初建立狭义相对论,有两条基本假设:相对性原理和光速不变原理。前者说的是物理规律在所有惯性系中都具有相同 的形式,后者意味着在所有的惯性系中,真空光速具有相同的值c。

如果从牛顿经典物理的观点来理解,这两条基本原理似乎逻辑上互相矛盾。特别是“光速恒定”这点不容易理解。为了解决这个互相不自洽的问题,我们需要重新思考时间和空间,重新思考所谓“同时”这种平时看来是司空见惯的现象。仔细考察后我们才知道,原来同时性并不是绝对的,而是相对的。在行驶的火车参考系上看起来“同时”的事件,在相对于地面静止的参考系上看起来,就不是同时的。这样,从上述两条基本原理出发,爱因斯坦突破了牛顿的绝对时空观,发现了时空间的联系,对时间空间,以至于质量、能量、动量等,都进行了重新定义。然后,再经过逻辑推理,得出了洛伦茨变换,质能公式,等等整个狭义相对论体系。

狭义相对论还可以说是应顺时代的产物,解决了当时晴朗物理天空上的两片小乌云之一:与经典电磁理论不符合的迈克尔逊-莫雷实验。之后,爱因斯坦将相对性原理中的惯性参考系推广到非惯性参考系,得到了广义相对论。这个过程并不是为了解释当时任何不符合理论的实验观测数据,尽管后来也有“广义相对论的三大实验验证”,但这并不是当年爱因斯坦建立广义相对论的初衷。他的目的是将经典的牛顿万有引力定律与狭义相对论加以“逻辑”推广,最后的结果就导致了广义相对论的建立。这个过程可以说几乎完全是出于爱因斯坦自身对美的追求。广义相对论使用几何语言,统一了引力和时空,可以说是完全构建于理念之中,并非为了解决任何实际问题。

正是因为如上原因,当年的爱因斯坦甚至不太在乎其理论与实验观测结果是否相符合。据说当爱丁顿的日全食观测验证了广义相对论之后,某人与爱因斯坦有如下一段有趣的对话:

某:“爱因斯坦博士,观测证实您的理论是正确的!”

爱:“我早知道它是正确的。”

某:“那如果观测结果和你的理论不一致呢?”

爱:“那很遗憾,但我的理论仍然是正确的!”

爱因斯坦以对时间、空间、引力这些最普通最基本概念的深沉反思,完全理性地建立了广义相对论理论。令人惊奇的是,这个出于逻辑美之探求而成的理论,迄今为止已经经受住了100年来实验和天文观测的考验,它体现的科学美着实令人震撼让人折服。

相对论的建立过程给我们启迪:欣赏和运用数学的逻辑之美,能帮助物理、化学、生物、天文、地质等自然科学建立严密的逻辑结构,找到自然界不同现象背后的深层规律。

·对称之美

对称性在自然界随处可见,作为基本数学概念也不难理解。最简单的例子就是人体。人体基本上是左右对称的,有左手又有右手,有左眼又有右眼。自然界还有许许多多对称的例子:花草、树木、动物……对称无处不在。对称是一种美。各种各样的对称性,或许也应该加上各种不对称性,构成了我们周围美丽的世界。

有各种各样不同形式的对称:平移对称、轴对称、中心对称……。不仅仅大自然物质世界具有对称性,描述物理世界规律的科学理论也具有对称性。例如,宏观和微观,经典与量子,有互相对应的特点,也可视作互为对称。

狄拉克可算是是物理学家中追美之第一人。他清心寡欲不染尘,沉迷科研无他求,得了诺贝尔物理奖还不想赴会领取。他特别重视的,是其物理理论之美。

二十世纪初期,爱因斯坦建立相对论,解决了物理学晴朗天空中两朵小乌云之一。另外一朵乌云的起因是黑体辐射问题,并由此而诞生了量子力学。这两场“革命”,令人对物理学中的“经典”概念之理解,发生了翻天覆地的变化。相对论基本上是爱因斯坦一人的功劳,量子力学牵涉到分子原子物理中的种种问题,引诱了一大批年轻物理学家蜂拥而上,其中的风流才子薛定谔为量子力学建立了基础的薛定谔方程,寡语少言、一整天说不出几个单词的狄拉克,则建立了相对论粒子遵循的狄拉克方程。

相对于概念迥异的量子“革命”而言,不仅仅牛顿力学是经典的,连同时是革命成果的相对论,也都被称为“经典”物理范畴。经典物理处理宏观粒子,量子力学处理微观粒子,经典物理用轨道来描述粒子运动,量子力学则使用概率意义上的波函数,经典粒子具有能量和动量,而在量子力学中变成了相对应的算符。这些互为对应之事实,描述了量子物理与经典物理的对称。

薛定谔根据经典力学的能量公式:E = p^2/2m + V,将能量E、动量p、及势能V,代之以相应的算符,得到了薛定谔方程。

然而,薛定谔方程有一个不足之处:它没有将狭义相对论的思想包括进去,因而只能用于非相对论的电子,也就是只适用于电子运动速度远小于光速时的情形。于是,狄拉克使用相对论的能量动量关系:E^2 = p^2c^2 + m^2c^4,也对称地代进相应算符,并且对算符进行了一个巧妙的“开方”运算,构建了狄拉克方程。

狄拉克方程的美妙甚至超过了狄拉克的期望,它不仅考虑了相对论效应,还将当时还不是十分清晰的电子自旋特性自动地包含于方程中。

由于对称性,狄拉克的相对论性电子模型中负能量解跟正能量解一样有效。这个问题使狄拉克困惑,最后,为了解决这个问题,同时也基于“对称美”的考量,狄拉克提出了“狄拉克海”的概念,预言了当时并不存在,似乎显得有些荒谬的正电子的存在。

1932年卡尔·安德森在宇宙射线中发现了正电子,证实了狄拉克的预言。1956年美国物理学家欧文·张伯伦(Owen Chamberlain)在劳伦斯-伯克利国家实验室发现了反质子。

从此之后,与我们原来所见的物质相对称的“反粒子”、“反物质”逐渐被研究、被预言、被发现。这些预言充分地体现了“对称”这个美丽理论的强大魅力,对称性成为如今基本粒子标准模型的重要基础。

不过,反物质无法在自然界中找到,即使有少量存在(例如放射衰变或宇宙射线),也会很快地与正常物质发生湮灭而稍纵即逝。所以,反物质只能在实验室中人为地被制造出来。由此,对称性也带给科学家们一大难题:为什么在现今可见的宇宙范围中,正反物质如此明显地不对称?是否有反物质为主的另类宇宙存在?

世界就是如此奇妙,对称中又有许多的“不对称”!所以,不要以为“对称之美”一定胜利!科学奖项颁发给发现对称的人,也颁发给发现不对称的人。

至少有7位学者,因为研究“不对称”而获得了诺贝尔物理奖。这其中,我们熟知的华人学者李政道和杨振宁捷足先登。

李杨二人1956年提出了一个弱相互作用中的“宇称不守恒”定律而得到了1957年的诺贝尔物理奖。宇称守恒是什么呢?简单地说,它与公众熟知的“镜像对称”有关。实际上,“宇称不守恒”的实验现象在1928年被观察到,另一位德国物理学家赫尔曼·魏尔(Hermann Weyl,外尔,1885年-1955年),早在1929年就曾经提出一个二分量中微子理论来解决这个问题,但因为该理论导致左右不对称,破坏了外尔心中的对称之美,最终被他抛弃了。二十多年之后,外尔已经去世,李政道和杨振宁重新考虑这个问题,才打破了这个对称性,吴健雄的实验最终证实了上帝果然是个弱左撇子!当年的三位华人物理学家,在科学史上合作谱写出了一段美妙的非对称旋律。除了宇称不守恒之外,杨振宁早期还有一项因研究“对称性”而知名的成果:规范对称场中的杨-米尔斯理论,这个杰出的工作使他跻身于当今最伟大的物理学家之列。

还有一种不对称现象曾经困惑物理学家多年,称之为“自发对称破缺”。意思是说,自然规律(方程)具有某种对称性,但服从这个规律的现实情形却不具有这种对称性。

人们经常举几个简单的例子来说明自发对称破缺。比如说,一支铅笔竖立在桌子上,它所受的力(物理定律)是四面八方都对称的,它往任何一个方向倒下的几率都相等。但是,铅笔最终只会倒向一个方向,这就破坏了它原有的旋转对称性,而这种破坏是铅笔自身发生的,所以叫自发对称破缺。

再表达得更清楚一些,就是说,物理规律具有某种对称性,它的方程的某一个解不一定要具有这种对称性。一切现实情况(实验、观测等)都只是“自发对称破缺”后的某种特别情形,它只能反映物理规律的一小部分侧面。在一定的意义上,这个概念也可以用以定性地解释宇宙中正物质多反物质少的问题。

奇妙的是:数学中的对称与物理中的守恒定律紧密相关。最早研究这个相关性的是19世纪一位才华洋溢的德国女数学家:艾米·诺特(Emmy  Noether ,1882-1935)。她不仅对抽象代数作出重要贡献,也为物理学家们点灯指路,发现了有关对称和守恒的一个美妙的定理,被称为诺特定理。

用通俗的话来说,这个(诺特)定理认为,每一个对称性质,都对应物理学中的一个守恒量。比如说,空间平移对称,对应于动量守恒定律;时间平移对称,对应于能量守恒定律;旋转对称,对应于角动量守恒定律。还有些诸位不太熟悉的,例如:电磁场规范变换对称,对应于电荷守恒; SU(2)规范变换对应于同位旋守恒;夸克场的SU(3) 变换则对应于“色”荷守恒。此外,在量子力学中,某些离散对称性也对应守恒量,例如,对应于空间镜像反演的守恒量便是李政道扬振宁所发现并不守恒的“宇称”。

·完备之美

物理理论不仅追求简洁,也追求完备。尽量用最少的公式,但企图描述更多的同类事物。

在数学上或相关领域,完备性可以从多个不同的角度被精确定义。但总的来说,指的是一个“对象”(或理论、假说、模型),如果不需要添加任何其他元素,可以达到逻辑自洽的话,便说这个对象具有完备性。完备性也称完全性。

科学不是纯数学,需要实验和观测的验证,因此,在一定的条件下,一个科学理论的完备性可能是相对的,随时间变化的。

例如,在上世纪60年代中期,物理学家们建立了基本粒子的“标准模型”,将当时物理实验能量能够达到的微观世界最小层次的物质结构和相互作用,统一于61种基本粒子。该理论所预言的数种粒子在实验中均被陆续发现,但其中的希格斯粒子却迟迟未露面。科学家们孜孜以求,期望等待着希格斯粒子登场,也就是为了证实粒子物理学中 “标准模型” 的完备性,证实物理理论之美。因此,当2012年欧洲核子中心(CERN)发现标准模型的这个最后一个粒子时,科学界欣喜若狂。

然而,标准模型仍然有其不完备之处,它与少量的实验结果不相符合,并且,它只统一了3种作用力,而将引力抛弃在外,此外,现有的物理理论也无法解释宇宙学领域传来的有关暗物质、暗能量的信息。因此,人们还在等待着更为完美的下一个“统一理论”。

爱因斯坦是追求完备性的物理学家,他认识到经典理论的不完备而建立了狭义相对论,继而追求完备推广至广义相对论。然后又因追求最终的完备,将其后半生的努力献给了物理学的统一大业,几十年如一日,孤独地寻找着一种更为基本更为完备的理论。

针对量子力学理论的诠释,爱因斯坦曾经与波尔展开一场世纪大战。在争论的最后一个回合,爱因斯坦于1935年发表了一篇题为《能认为量子力学对物理实在的描述是完备的吗?》的论文,通常被称为EPR论文。文中爱因斯坦提出评价物理理论的标准:一是正确性,二是完备性。爱因斯坦等也提出EPR思想实验(或称EPR佯谬),借着检验两个粒子量子纠缠的行为,企图凸显出定域实在论与量子力学完备性之间的矛盾。

爱因斯坦认为量子力学不完备,坚持哥本哈根诠释的波尔认为量子力学完备,这儿争论的焦点是量子力学中不确定性的本质问题。爱因斯坦一方认为,不确定性的产生是因为理论的不完备,忽略了背后隐藏的隐变量;而波尔一方认为,量子力学中的不确定性,是微观世界的本质,没有什么隐变量!争论双方的两位大师去世之后,英国物理学家约翰·贝尔1964年提出了一个方法,可以借助实验来验证隐变量理论。如今半个世纪过去了,大量的实验结果支持量子力学,而非隐变量理论。实验结果似乎没有站在爱因斯坦一边,但对量子力学的完备性问题,人们的看法仍然难以达成一致。

说到完备性,想起著名数学家哥德尔的“不完备定理” ,哥德尔定理说些什么?和科学理论的完备性有关系吗?这个问题难以用三言两语说清楚,留待下次吧。
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