构造n维空间的一个方法

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　　　　构造n维空间的一个方法

点应该算作是零维空间。
两点从同一点(称原点用O表示)出发，向相反方向运动，就形成了一条直线，如果规定了一个方向为正方向，以原点为起点，任意运动的点的任意位置时为终点A，就构成了一个向量OA，点在正方向上时，称为向量的方向为正方向。那么以直线上的点构成的向量集，就是一维向量空间。这就是说，原点(对应零向量)是空间必不可少的元素，没有原点就不能构成(几何)空间。
从直线外任取一点B，过OB有一条直线OB，直线OA保持与OB相交的情况下，向同时向相反方向平移，就形成了一个平面，以原点为起点，平面上的任意一点为终点的向量集，就构成了二维空间。
在平面个任取一点C，两面再分别沿OC向两个相反方向平移（即移动过程中保持与原平面平行，就形成了一个三维超平面，以三维超平面上的任意一点为终点，原点为起点的向量集就构成了三维空间。
存在三维超平面外的点，设D是这个三维超平面外一点D，三维超平面从原来位置出发，分别沿直线OD的两个相反方向平移(即移动过程中OA，OB，OC与原位置时平行，称OA，OB，OC二维不共面，三维共面)始终保持平行，就形成了一个四维超平面。以原点为起点，四维超平面上的任意一点为终点的向量集就构成了四维空间。
　　……　……　……　……
假如已经形成了n-1维超平面与n-1维空间，以及这个n-1维这空间内相交于原点O的n-1条n-2维不共面的直线OA，OB，OC，…，OP。那么这个n-1维超平面外还存在一点Q，这个n-1维超平面从原点O开始分别向两个相反的方向平移(即移动过程分别保持OA，OB，OC，…，OP与各自原位置处平行)。如此就形成了n维超平面。以原点为起点，n维超平面上的任意一点为终点的向量集，就构成了n维空间。其实这个n维空间，就是n维线性空间。
　　当然要定义向量的加减运算。向量OA+OB，就是把向量OB平移，使其起点与点A重合，这时设其终点移到点U的位置，就定义OA+OB=OU，从而OU－AU＝OA。还有数乘向量，就不在这里赘述了。
　　n维线性空间V中显然还有另外的元素点，即n维空间也可以看作是点的集合，当把V看作点集时，其子集称为V的一个图形，研究V的图形的性质及图形间的位置关系的学科，就称为V上的几何――《仿射几何》。《仿射几何》是承认平行公理的。不然“平移”就没有了意义。

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     数理中
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１０／９／２７·