如何理解“全体实数所成的集合既是开集，又是闭集”？

fm1134

常见到“全体实数所成的集合既是开集，又是闭集”这样的说法，不知该如何理解这句话
呢？

elimqiu

拓扑空间的定义中，空集和全集都是开集。而闭集是开集的余集。所以全空间 R 是开集，作为空集的余集又是闭集。 当然，用其他闭集的等价定义也能得出同样的结论。

fm1134

下面引用由elimqiu在 2010/09/27 10:52pm 发表的内容：
拓扑空间的定义中，空集和全集都是开集。而闭集是开集的余集。所以全空间 R 是开集，作为空集的余集又是闭集。 当然，用其他闭集的等价定义也能得出同样的结论。

elimqiu讲得很有道理，不过个人感觉很难直观、感性地理解这个问题。
按照直观的理解，开集不包括边界，闭集包括边界。由于不存在最大的实数，所以全体实数
所成的集合是没有边界的，因而不能看作闭集的。

elimqiu

下面引用由fm1134在 2010/09/30 02:43am 发表的内容：
elimqiu讲得很有道理，不过个人感觉很难直观、感性地理解这个问题。
按照直观的理解，开集不包括边界，闭集包括边界。由于不存在最大的实数，所以全体实数
所成的集合是没有边界的，因而不能看作闭集的。

既然 R 没有边界，那么 R 就包含边界。于是R 就算是闭集。 这样是不是还说得过去？

fm1134

下面引用由elimqiu在 2010/09/29 08:26pm 发表的内容：
既然 R 没有边界，那么 R 就包含边界。于是R 就算是闭集。 这样是不是还说得过去？

为什么没有边界了，就包含边界了呢？

elimqiu

就是说你找不到一个边界点不属于它。于是所有的边界点都属于它，于是它包含边界。

elimqiu

下面引用由000-000-000在 2010/10/03 02:31am 发表的内容：
如果这样说的话，开集也是有边界的了，这个边界不是能够象闭集一样可以明确写出来的，但是呢，是确有其边界的。

开集可以有非空边界，但若有非空边界，那么这个边界不属于该开集。