5—轮构形的可约性研究

雷明85639720

雷  明
（二○一六年元月十一日）

要研究5—轮构形的可约性，必须弄清楚赫渥特为什么不能对他构造的图4—着色，以及赫渥特图是不是能够4—着色两个问题。如果赫渥特图不能4—着色，那么，四色猜测就不要再去证明了，有一个平面图不能4—着色，就已经能够说明四色猜测是不正确的了；否则，才有必要去对5—轮构形的可约性进行研究，进而再证明猜测是否正确的问题。
1、赫渥特为什么对他的图不能4—着色

首先看一下在什么情况下用坎泊的颜色交换技术可以空出颜色。在图1中（图中数字是顶点名称，英文字母是颜色），上一排的5—轮构形中都有一条在5—轮的两个对角顶点间的连通链（它与待着色顶点v构成了一个环，把其颜色全部不同的相反链分隔成了环内环外互不连通的两部分），这样的连通链就是交换了也是不能空出颜色来的，这是交换的一个原则。下一排的5—轮构形中轮中均没有链连通链，在这样的情况下，5—轮的两对角顶点的颜色所构成的链才是可以交换的，交换后也一定能空出颜色来给待着色顶点。
①  首先赫渥特就违反了上述交换的原则，他第二次交换的是一条连通链，当然是不能移去两个同色了。

赫渥特的图经过简化后如图2的“九点形”这九个顶点都是赫渥特图中最关键的顶点。赫渥特第一次从顶点1交换的B—D链是一条不连通链，移去了一个B，但第一次交换后，便产生了从顶点3到顶点5的连通链B—C（本来顶点3到顶点5的B—C链是不连通的），这样当然不能再移去另一个B色了。
②        第二，赫渥特没有一错到底。
既然第二次交换错了，就应该继续错下去，但他没有这样做，而中途停止。如果错下去就将成为图3的情况，最后变成一个非H—构形的图。这个图是可以先从顶点4交换D—A，再从顶点1交换D—C（注意：这两个交换的先后次序是不能错的），同时移去两个同色D给待着色顶点V着上的。这个图我把它叫做半H—构形，因为它也有两条连通且相交的链，并不是不能同时移去两个同色，而是可以通过有选择性的交换关于两个同色的链，才能同时空出两个同色，给待着色顶点V着上的。实际上，在第一次交换后，图就已经变成了一个半H—构形的图了，如图4。



③  第三，很可能赫渥特是陷入了H—构形与半H—构形无限相互转换旋涡的陷阱中了。从图2、图3和图4中我们已经看到，H—构形是可以转化成半H—构形的。我们也注意到了半H—构形也是能够转化成H—构形的。
图5是半H—构形向H—构形转化的过程：本来可以先从顶点1交换B—D链，再从顶点3交换B—C链，是可以空出B给待着色顶点V着上的；但是交换的顺序选错了，而是先从顶点3交换了B—C链，再从顶点1交换B—D链，就使得图转化成一个H—构形的图了。如果总是把交换选错，就将永远也跳不出这个陷阱。我想赫渥特可能是陷入了这个陷阱中去了。
赫渥特违反了交换的原则，交换了不应酬交换的连通链，就连创造颜色交换技术的坎泊当时也没有注意到这一点。更糟糕的是时已过去一个多世纪，现代的数学家们也还没有看到这一点（没有一个文献资料上提到这一点），而只是说坎泊的证明有“漏洞”，赫渥特图是坎泊证明的反例，赫渥特图不是不可4—着色的等等。但也没有看到他们那一个人对赫渥特图进行了4—着色，也没有看到那一个人再去研究赫渥特图道底能否4—着色的问题。而是提出了用什么（5，5）和（5，6）构形来代替不可避免的5—轮构形的问题，等待什么新的数学理论的“出现”再去解决四色问题等等。既然提出了用（5，5）和（5，6）构形来代替5—轮构形，但得到的结果又是（5，5）和（5，6）构形都是不可约的，但却又得到了四色猜测是正确的结论。你看看，混乱到了何等的地步。不能证明不可避免的5—轮构形是否可约，提出了用（5，5）和（5，6）构形来代替之，结果既得到（5，5）和（5，6）构形不可约，又得到四色猜测是正确的。这是什么逻辑嘛。
2、赫渥特图能不能4—着色
搞清了赫渥特对他的图不能4—着色的原因后，就可以针对他的错误，找别的办法给其着色了。
首先看一下由四种颜色可能构成的色链有几种。四种颜色是A、B、C、D。四种元素，两个元素组合在一起，共有六种组合，即A—B、A—C、A—D、B—C、B—D、C—D六种，即六种色链。在图1中的九点形图中，A—C链和A—D链均是连通链，不能交换，A—B链和C—D链均分布在轮沿顶点中，交换也没有意义，仍空不出颜色。而B—C链和B—D链，两条同时交换时，也空不出颜色来。如何办。有办法。

①　从图1中可以看出，图中有一条环形的C—D链，把它的相反链A—B分隔在环的内外，互不连通。这时我们可以想，是否可以破坏连通链的连通性呢。如果没有了连通链，当然就可以通过交换空出颜色给待着色顶点了。两连通链A—C和A—D的两个相交顶点2和8一定是着A的，且正好又是分布在环形链C—D的内外两侧。那么我们就可以从两个相交顶点之一，交换A—B链，使图变成一个非H—构形的图，给下次交换空出颜色创造条件。然后，再通过一次别的交换，空出颜色给待着色顶点着上（如图6）。这就是我说的“断链法”，我给赫渥特图的着色就是这样在赫渥特着色基础上进行的。当然交换另一支A—B链也是可以“断链”的。赫渥特图的这一4—着色方法，我已于1990年给出，并于1992年在陕西省数学会第七次代表大会上做过学术报告。
有没有不要选择两个同色的链的交换顺序，就可以同时移去两个同色的构形呢，有。把图2中的赫渥特构形中的5C—7D和4D—6C去掉，换之以1B—8A和3B—8A，图中便有了一条A—B环形链，把C—D链分隔为环内环个互不相连的两部分。这时不分先后次序的交换两条关于两个同色的链，就可以同时移去两个同色B，给待着色顶点V着上。
    ②　既然B—C链和B—D链不能同时交换，我们可不可以只交换其中一条呢。我认为也是可以的。

从图2、图3和图4中知道H—构形的图，只要交换了一条关于两个同色的链后，都可以使图变成半H—构形的图。而半H—构形的图是可以通过有选择的交换关于两个同色的链，是可以同时移去两个同色的，是可以给待着色顶点着上图中已用过的四种颜色之一的。当然赫渥特图也就是可以4—着色的，如前面的图4。
张彧典先生和米勒也是在1990年左右，用了两次逆时针赫渥特颠倒，给赫渥特图中的待着色顶点着上了图中已用过的四种颜色之一，如图7。本来从顶点1交换了B—D链（第一次逆时针赫渥特颠倒）后，就得到了一个半H—构形的图，可以先从顶点4，后从顶点1进行交换后，就可以同时移去两个同色D给V。但张先生和米勒都没有看到这一构形结构上的变化，在交换了B—D链后，又从顶点4再进行第二次逆时针赫渥特颠倒（这实际上与我们有选择的先从顶点4进行关于两个同色D的交换是相同的，这一交换后图中确实是不存在交叉链了，是一个地道的非H—构形的图），然后，他们再从顶点3交换了B—D，空出了B给V着上。但是，我们同样也可以从顶点1交换B—D，空出D给V着上，结果与前面的图4的结果是相同的。
看来，张先生和米勒对赫渥特图的着色方法与我的第二种对该图只交换一条关于两个同色的链的着色方法实质上是相同的。
以上用了两种方法对赫渥特图进行了4—着色：一个是“断链法”，一个是“赫渥特颠倒法”，这两种方法实质上都是在运用着坎泊的颜色交换技术。
3、另一些5—轮构形的4—着色
①  米勒的M—构形的4—着色。米勒图如图8左图。该图有环形的b—r链，把g—y链分成了两部分，交换任一部分的g—y链，都可以使原来的连通链“断开”，成为一个非H—构形（如图8中图）；还可以进行赫渥特颠倒，使之变成一个H—构形的图，再按H—构形去的着色方法去交换着色即可。注意，M—构形的图，进行了一次赫渥特颠倒后可以变成H—构形，但如果把这个H—构形的图再进行与从M—构形变成来的逆向赫渥特颠倒，则又会由H—构形转化成M—构形，一定要注意这一点，否则，也会陷入陷阱的。因此，在进行赫渥特颠倒时，一定要始终按一个方向进行（有些图需要多次进行赫渥特颠倒），不能一会儿逆时针，一会儿顺时针。

②  张氏Z—构形的4—着色。图9是张彧典老师第八个构形的简化图。图中没有任何环链，只有有两条相反的直链，不能采取“断链法”而只能采取赫渥特颠倒法了。从顶点3顺时针颠倒后，变成一个H—构形的图，按H—构形着色就可以了；从顶点1逆时针颠倒后仍是一个Z—构形，继续从顶点4进行逆时针颠倒，直到变型为止。

③  雷氏L—构形的4—着色。图10是我把张彧典老师不对称的Z—构形的简化图变成了左右对称的两个图。其中左图中有一条r—b环形链，把g—y链分成了两部分，而右图中则有一条g—y环形链，把r—b链分成了两部分。着色时，左图可以采用交换任一部分g—y链的方法“断链”，右图可以采用交换任一部分r—b链的方法“断链”，两图都可变成非H—构形。另外，两构形都可使用赫渥特颠倒法变型。

④  张雷氏Z—L构形的4—着色。图11是雷明构造的比张彧典老师的Z—构形更复杂一点的构形，我称它叫Z—L构形。这种构形也只能是进行赫渥特颠倒了。颠倒后，只要构形变型了，就可以很快4—着色；若颠倒后仍是Z—L构形，就继续进行同方向的赫渥特颠倒，直到变型为止。

    还有没有别的什么构形出现，实在是说不清楚，也没有办法证明就这几种构形以外再没有别的构形了。还不能说明四色猜测就可以得到证明，所以我还是认为这种着色的方尖是不能证明四色猜测的，还是要走“不画图，不着色”的证明道路。

雷  明
二○一六年元月十一日于长安

注：此文已于二○一六年元月十一日在《中国博士网》上发表过，网址是：

雷明85639720

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