赫渥特类构形道底有多少个

雷明85639720

赫渥特类构形道底有多少个
雷  明
（二○一六年元月十二日）

要研究赫渥特类构形，首先要明白什么是赫持类构形。我认为把不能直接通过对5—轮轮沿顶点的颜色交换而空出颜色给待着色顶点着上的类赫渥特图的构形，称为赫渥持类构形。这些构形必须经过“转型”，才能为下一步的交换从5—轮轮沿顶点空出颜色创造条件。如赫渥特图，必须经过“断链”或“颠倒”后，使图转化为非H—构形，再通过颜色交换，才能从5—轮轮沿顶点中空出颜色，再给待着色顶点着上。
注意，我们这里所说的“转型”是指H—构形与非H—构形间的“转型”，而不是张彧典先生的H—构形间的“双B夹A”型和“双D夹C”型等等间的所谓“难点转化”。
还必须明白，要求通过交换5—轮轮沿上的顶点空出颜色给待着色顶点，所交换的链对于5—轮的对角必须是不连通的，否则是不能空出颜色给待着色顶点的。
1、1879年，坎泊宣布他证明四色猜测是正确的。用他所创造的颜色交换技术证明了4—轮构形是可约的，也证明了5—轮构形中两链只有一个相交点的构形是可约的。但没有证明5—轮构形中两链只有两个以上相交点的构形是否可约的问题。1890年，赫渥特构造了赫渥特图（以后称为H—图或H—构形，如图1），指出了坎泊未能证明的这一个问题。但当时坎泊与赫渥特都未发现赫渥特交换的是一条不能空出空色的链。
2、一个多世纪已经过去了，至今没有一个专业的数学家认识到这一点，反而是好多的四色爱好者发现了这一问题。并且他们在赫渥特原着色的基础上，对赫渥特的图进行了4—着色。这一问题的发现，说明了一个道理：即要解决原来不能解决的问题，必须要弄清楚原来不能解决问题的原因所在，才能对症下药去进行解决。知道了赫渥特不能对他的图4—着色的原因后，也才能很快的对其进行4—着色。

3、在1990年前后，雷明，张彧典，董德周，米勒等人都认识到了赫渥特对他的图不能4—着色的原因，也都各自对赫渥特图在赫渥特原着色的基础上进行了4—着色。雷明与董德周采用的是“断链法”（如图2），张彧典和米勒采用的是“颠倒法”（如图3），结果都使赫渥特图先由H—构形变成了非H—构形，再进行颜色交换，给待着色顶点着上了图中已用过的四种颜色之一。几乎与此同时，米勒又构造了米勒图（以后称为M—图或M—构形，如图4），又对他们企图通过连续的“赫渥特颠倒”对四色猜测进行证明的想法进行了否定。
4、2010年前，张彧典对米勒图进行了4—着色，实质上用的就是雷明的“断链法”（如图5）。但张彧典与米勒一样，不能用“颠倒法”对米勒图进行4—着色。2010年，张彧典的《四色问题探秘》一书出版后，2010年之后，雷明才了解到米勒图，对米勒图进行了研究，并用两种方法对该图进行了4—着色。雷明不但能用“断链法”（如图5）给米勒图4—着色，也能从理论上对“断链”进行解释，而且还能对张彧典和米勒都认为不能用“颠倒法”着色的米勒图，仍然用“颠倒法”进行了4—着色（如图6）。雷明发现，对米勒图施行一次“颠倒”后，图就变成了一个赫渥特图型的构形，再按解决赫渥特图的办法去解决就行了。

以上的赫渥特图和米勒图，都有两种方可以解决问题的方法。都可分别用“断链法”和“颠倒法”进行解决。我们可以说解决该两个图的“自由度”要高一些。把一种方法算作1个自由度，那么，H—构形和M—构形的自由度就是2。
5、2010年在张彧典的书中，张先生构造了一个图（即张先生的“九构形”中的第八个构形，以后称为Z—图或Z—构形，如图7就是Z—图的简化图，两图为一左一右式）。这个图中没有环形链，两条相反链都只是一条直链，不可能用“断链法”解决问题。张先生用了八次“颠倒”，使“难点转化”了七次后，才给出了一个4—着色结果。这里要说的是：张先生只看到他的“颠倒”和“难点转化”的次数要达到要求，而没有看到图在进行“颠倒”的过程中，早已转化成了非H—构形了。按照给非H—构形的着色办法，早就可以从5—轮轮沿顶点中空出颜色给待着色顶点着上了。Z—构形只有一种解决的办法，其自由度是1，比H—构形和M—构形的自由度要低了。



6、2015年，雷明构造了两个图（以下称为L—图或L—构形，如图8），是把张先生的Z—构形变成了对称的（张先生的Z—构形是左右不对称的）。该两图中都有各自的环形链，可以用“断链法”和“颠倒法”两种办法解决问题的。自由度均是2。
7、2016年初，雷明又在张先生Z—构形的基础上构造了Z—L构形（如图9，Z—L是张和雷的意思）。该构形的自由度是1。只能用“颠倒法”解决。该图无论从顶点1开始进行逆时针赫渥特颠倒，还是从顶点3开始进行顺时针赫渥特颠倒，得到的都仍是一个Z—L构形，再继续进行逆时针赫渥特颠倒，图就转化成一个非H—构形的图了，再进行一次坎泊的颜色交换，就可以空出颜色给待着色顶点着上了。

8、若把自由度的倒数叫做“着色难度系数”或“难度系数”，则H—构形、M—构形和L—构形的着色难度系数就是1/2＝0.5，而Z—构形和Z—L构形的着色难度系数则是1/1＝1.0。难度系数越高，说明该构形越难着色，着色的方法越少。
9、有没有自由度和难度系数都等于1的构形呢，我们也构造了一个图，如图10。我把它叫做LM—构形，即雷明构形。图中有两条相交的链通链B—D和B—C，相交顶点是8B。图中还有一条环形的C—D链，分A—B链成不连通的两部分。由于B—D和B—C都是连通链，所以该图不可能用“颠倒法”去解决；而C—D链又是环形的，所以只能用“断链法”进行解决。交换被C—D分隔开的任一部分A—B链，都可以使构形变成非H—构形，然后再按非H—构形去交换和着色就行了。看来这个LM—构形的自由度和着色难度系数也好象都是1了，而实际上并不是1。因为这个图本身就不是H—构形，它没有相交并连通的A—C和A—D链（图中相交并连通的链是B—C和B—D）。该图是可以直接不须变型而移去A、C、D三种颜色之一给待着色顶点的。这样看该图的自由度应是3，难度系数则应是1/3＝0.333……。

10、还有没有难度系数更大的H—图或H—构形呢，即有没有既不能“断链”，也不能“颠倒”的图呢，我们还无法知道。但自由度若是0时，难度系数则是无穷大，难度系数变成了无穷大是否科学，还有待研究。如果说难度系数最大只能是1，那么到此可否得出，H—构形最多只可能有H、M、Z、L和Z—L五种呢。如果真是这样的话，由这五种构形构成的集合就是平面图中H—构形的不可避免集。现在，该集合中的每一个构形都是可约的了，是否就可以说四色猜测就被证明是正确的了呢。有那位大师可以下这样的结论呢。

雷  明
二○一五年元月十三日于长安

注：此文已于二○一六年元月十五日在《中国博士网》上发表过，网址是：

雷明85639720

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