a,b,c 为不全等于 0 的实数，求证一个四次方程恒表示两个二次曲线，并讨论其性质

dodonaomiki · 发表于 2016-1-18 16:32

本帖最后由 luyuanhong 于 2016-2-3 14:17 编辑

70多年前的大学入学试题，
跟当今的研究生入学试题，
不遑多让！

冥国，太短命鬼了就是

luyuanhong · 发表于 2016-1-19 22:44

luyuanhong · 发表于 2016-1-19 22:48

dodonaomiki · 发表于 2016-1-20 22:46

quaternary determinant这个玩意儿，
算算，也是算死人
不简单那不简单！

据说，现在对这种4阶及其以上的行列式计算都不做要求【非数学系的话】

dodonaomiki · 发表于 2016-1-21 18:05

能否请教陆老师，再一个问题？

请见图，谢谢您！

luyuanhong · 发表于 2016-1-21 18:38

本帖最后由 luyuanhong 于 2016-1-21 18:41 编辑

例如，设二次曲线的方程为 -x^2/9-y^2/4=1 ，

这时，用任何一对实数坐标 (x,y) 代入方程，都不可能使方程成立，

所以在实数平面上，这曲线的图像是一片空白，也就是没有任何图像。

如果用一对虚数坐标 (x,y) ，例如 (x,y)=(3i,2i) 代入，则有可能使方程成立，

在虚数平面上，这曲线的图像是一个椭圆，所以这方程的曲线称为“虚椭圆”。

中国上海市 · 发表于 2016-1-22 16:25

其实还应该有可能是圆或抛物线的情况吧

luyuanhong · 发表于 2016-1-22 17:04

中国上海市发表于 2016-1-22 16:25
其实还应该有可能是圆或抛物线的情况吧

圆是椭圆的特殊情况，所以说到“椭圆”，就已经包含“圆”了。

在第 3 楼的帖子中，只讨论下列形式的二次曲线：

a(x-d)^2+b(x-d)(y-e)+c(y-e)^2=f^2

在这种形式的二次曲线中，不可能有抛物线。

dodonaomiki · 发表于 2016-1-23 08:58

这种情形不大理解，就是不理解！

陆老师，这种情况下，我应该怎么理解他说是
【两条平行直线】？

有没有特变简单的理解方法？

恕本人愚钝、数学功底薄弱，再次请教，十分不好意思！

drc2000回来 · 发表于 2016-1-23 09:15

比如x^2+2xy+y^2-4=0,
即（x+y）^2=4
两平行直线：x+y=2与x+y=-2

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