无穷小与微分问题

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笔者已经谈到微分不是无穷小；自变数的微分是是一个以0+为极限是任意的足够小辩证数及其应用。现在 还需要再谈一下微分与无穷小的概念。第一，讨论这个问题的目的是解决生产实际问题，撇开应用讨论这个问题就没有实际应用意义，不能像A.鲁宾逊那样撇开物理或几何意义得出形式逻辑上就违背阿基米德性质的无穷小数。如果讨论的是切线表达式问题，那么首先可以把切点看作是一个依赖于近似点的理想点，然后根据近似点与理想点之间的依赖关系求出切线斜率，问题就解决了。第二，如果讨论的是瞬时速度问题，那么这是一个涉及飞矢不动悖论的争论了二千五百多年的问题，至少是从牛顿到现在的争论了五百年的问题。对这个瞬时速度问题，从实用意义上讲，它不能代表长度为0的时段上物体运动速度，它应当代表一个物理学家说的时间量子时段上物体（可以是微观粒子或下落物体）的运动速度，这个时间量子的长度，需要物理学家去进一步研究，但从数学理论上必须肯定他是一个需要根据具体问题，例如微观粒子或下落物体的具体情况的足够短时段。但在数学计算理论上，可以使用现在的理想导数计算法，求极限之前，把dt看作不是0的可以做除数的数，在求极限时可以暂时忽略dt的足够小，得出瞬时速度的足够准近似值。从这个计算来看，0与足够小构成一个解决瞬时速度与切线问题的对立统一体的家庭。他们各有各的作用。关于这个瞬时速度问题，1962年，笔者提出“按照导数计算方法求出物体在2秒时刻下落速度是 ，那么物体按照瞬时速度 运动的时段长是不是0呢？”问题，当时就有同志回答说；“它既是0又不是0”，笔者不同意他的解答，因为他的解答违背形式逻辑的矛盾律。而笔者现在的解说是联系现实问题的实际情况具有实际应用意义的解说。

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绝地达不到时，可以使用满足误差界的足够准。