级数收敛性的判断

tian27546 · 发表于 2010-10-1 12:20

证明：一个级数，如果通项趋于零，那么任意加括号敛散性不变，且收敛时值不变
我感觉不好严格的说明请luyuanhong 还有equile等帮帮忙

elimqiu · 发表于 2010-10-1 21:16

[这个贴子最后由elimqiu在 2010/10/01 02:59pm 第 2 次编辑]

先给一个看法：

反过来的问题我还在考虑。谢谢你的题目。

elimqiu · 发表于 2010-10-2 09:52

我发现，如果 {a(n)} 趋于 0 ，对应级数∑a(n)的某种加括号方式所成的级数收敛推不出原级数∑a(n)的收敛性。
欢迎大家参与构造反例。

elimqiu · 发表于 2010-10-2 10:23

[这个贴子最后由elimqiu在 2010/10/03 05:58am 第 1 次编辑]

给定一个收敛非负项级数 ∑b(n)  
我们来考虑一个加了括号后的级数的这么一些条件：
（1）第 n 个括号内的项的和 = b(n)
（2）第 n 个括号中的每一项的绝对值皆小于 1/n
（3）第 n 个括号中的前一部分项都是正的，其余的项皆为负
（4）第 n 个括号中的正项之和大于 c+ b(n), c 为正的常数
如果这些条件都成立，那么去掉括号的级数必发散。但其一般项趋于0

tian27546 · 发表于 2010-10-3 10:31

elimqiu 你看看这个反列满足么：。如：若2^k≤n<2^k+2^(k-1)时an=1/2^k，若2^k+2^(k-1)≤n<2*2^k时an=-1/2^k，a1=0(k≥1)则此级数发散，通向趋于零。令bn=∑ai(2^n≤i<2*^n)。它收敛。

elimqiu · 发表于 2010-10-3 10:38

这个反例没错。
发散性可以这样证：第 2^k 到 2^k+2^(k-1)-1 项和恒为 1/2。所以部分和的序列不是柯西列。

tian27546 · 发表于 2010-10-3 11:05

谢谢elimqiu

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