证明等比数列3^n，4^n，5^n，9^n模11的剩余类个数与类别一样

白新岭

证明等比数列3^n，4^n，5^n，9^n模11的剩余类个数与类别一样，剩余类个数都是5，类别一样是指余数都相同，而且当n≠5m时，同一个n值，模11的余数是底数之一。

白新岭

以正整数为底，即等比数列n^k，模11的剩余类情况只有5大类，11m形正整数，模11，只有一个剩余类0；
11m+10形正整数，模11，只有2个剩余类1，10；11m+1形，模11只有剩余类1；在就是主贴提到的四类数11m+3，11m+4，11m+5，11m+9，模11的剩余类为1，3，4，5，9，五种；剩下的，是11的原根，除余数0以外的所有剩余类。

白新岭

以正整数为底，即等比数列n^k，模11的剩余类情况只有5大类，11m形正整数，模11，只有一个剩余类0；
11m+10形正整数，模11，只有2个剩余类1，10；11m+1形，模11只有剩余类1；在就是主贴提到的四类数11m+3，11m+4，11m+5，11m+9，模11的剩余类为1，3，4，5，9，五种；剩下的，是11的原根，除余数0以外的所有剩余类。

白新岭

在数列中去掉n=5m的元素，则四个数列做2元乘法运算后对11取模，余数是1的占比1/4,而余数是3，4，5，9的各占（5-2）/(5-1)^2=3/16。

白新岭

对于数列3^n模11剩余类个数与种类分析一下，在分析以前，我们把数列的每一项表示成等比数列的和，1，3，9，27，.....它是等比数列，有等比数列前n项和公式Sn=（q^(n+1）-1）/(q-1），可以推出q^(n+1）=(q-1)*Sn+1，就是说，它的第n的值等于它前一项以前等比数列的和乘公比-1后加1，所以3^n=（3-1）*（1+3+9+.....+3^(n-1))+1=2*(1+3+9+.....+3^(n-1))+1，我们观察小括号里边的等比数列，前1项为1，不能整除11；前两项和为4不能整除11；前三项的和13不能整除11，前四项和为40不能整除11；前五项和为121能整除11，也就是说，每过连续五项的和都能整除11，这样我们把n表示成5m+r的形式，0≤r4，r只有5种取值方法，所以数列模11的余数只有5种，剩余类个数也是5.   

这里特别说明，把等比数列表示成等比数列前n项和的目的，是找到连续几项的和能整除11（不是指数列中的项整除11，而是指它拆成的等比数列中连续几项的和能整除11，这里有个技巧，我们找到连续几项能整除11后，是把数列从最高次项往前划分组，然后每组中提取不同的公共因子，则提取因子后项的和可以整除11，把不够分组的项余剩在前面，不够分的项数最多为4项，即4种余数，加上正好分成组的情况共计5种余数。
现在分析余数情况，剩余一项时，2*！+1=3，模11余3；剩余2项时，2*（1+3）+1=9，模11余9；剩余3项时，2*（1+3+9）+1=27，模11余5；剩余4项时，2*（1+3+9+27）+1=81，模11余4；正好分成整组时，2*（1+3+9+27+81）+1（其余整组除11余0，不在计算），除11余1；以后构成循环。

这里主要是采取了划分组，先把数列中的项值降解（把11的倍数剔除）

白新岭

对于以4，5，9为底的等比数列，皆可仿照上楼的模式分析而得，它即证明了剩余类个数的多少，也求出了余数种类。
4^n=3*(1+4+4^2+.....+4^(n-1))+1
5^n=4*(1+5+5^2+.....+5^(n-1))+1
9^n=8*(1+9+9^2+.....+9^(n-1))+1

波斯猫猫

这3^n，4^n，5^n，9^n不是等比数列，它不满足等比数列的定义。

从第二项起，每一项与前一项的比都等于同一个不为零的常数的数列叫做等比数列，即a(n+1)/an=q，其中，常数q≠0，q称为这个等比数列的公比.

如： 首项是1，公比为2的等比数列为1，2，4，8，...，2＾n，...。

yangchuanju

白新岭 发表于 2019-3-12 16:15
以正整数为底，即等比数列n^k，模11的剩余类情况只有5大类，11m形正整数，模11，只有一个剩余类0；
11m+10 ...

“11m+10形正整数，模11，只有2个剩余类1，10；……”
11m+10形正整数，模11，怎么会有剩余类（余数）1？

波斯猫猫

波斯猫猫 发表于 2021-4-24 08:31
这3^n，4^n，5^n，9^n不是等比数列，它不满足等比数列的定义。

从第二项起，每一项与前一项的比都等于同 ...

哦，祝你成功。