张彧典和雷明二人的不可避免集实质上是同一个集合

雷明85639720

张彧典和雷明二人的不可避免集实质上是同一个集合
雷  明
（二○一六年二月十四日）

把坎泊已经证明过的构形叫做K—构形。把坎泊未证明过的构形中可以同时移去两个同色的构形叫做非H—构形，把不能同时移去两个同色的构形叫做H—构形。这是雷明的分类方法。而张先生的分类方法则是把坎泊未证明过的构形统统叫做H—构形。二人的划分原则就是存在这么一点差别。

在两条连通链既有共同的起始顶点，又有交叉顶点的情形中，最基本的也是最小的模型如图1，这就是张先生《探秘》书中的图2•7。在7D、1B、5C、8A和6C、3B、4D、8A间存在着各种链的组合情形，如图2，这也就是张先生的图6•2。该图中张先生是三个图，而我这里是四个图，为什么。因为张先生把我这里的两个图图2，a和图2，b作为一个图一起画在图2•7—1中了，这是因为按他的逆时针颠倒法，这两个构形具有同样的结果；我这里的图2，c和图2，d分别就是张先生的图2•7—3和图2•7—2。
原来，张先生在划分不可免构形时，是以施行逆时针颠倒的次数多少（或所谓的难点转化次数的多少，难点转化次数等于颠倒次数减1）为依据的，共划分了八种（不包括米勒构形）。我认为其第三到第七构形若施行顺时针颠倒时，都是只颠倒一次，难点不转化，且都应划归为一类；另外构形三与构形一只是在施行颠倒的左右顺序不同而已，也应划归为一类。在我的建议下，张先生把他的第一，第三到第七总共六个构形划归成了一类，使构形数大大减少。

    我们都认为张先生的第九个构形——M—构形（米勒构形）是一个比较特别的构形，单独划为一类。
现在，张先生九构形中，就剩下第二构形和第八构形了。按我的分类方法，张先生的第八个构形：一不象图2，a那样，有一条环形的A—B链，也不象图2，a，图2，b和图2，c那样，可同时移去两个同色B给V；二也不象图2，d那样，与赫渥特图中一样有一条C—D环形链，分A—B链为互不相通的两部分，交换任一条A—B即可使构形转型，使问题得到解决；三又不象米勒图中那样的既有A—B环形链，又有C—D环形链，C—D链被A—B环链分为互不相通的两部分，交换任一部分C—D链也可使构形转型，也能使问题得到解决；而在该构形中则是A—B链和C—D链都是各只有一条直链，交换后也是起不了任何作用的。现在看，六种链中已有四种就不能交换了，剩下来的只有B—C和B—D两种链了（这两链均不连通），但这两条链又不能同时交换，也就只有交换其中之一了。但交换的结果，却真的使得构形的类型也发生了转化，变成了如图2，b和图2，c的可以同时移去两个同色的半H—构形（即张先生的图6•2中的图2•7—2和如图2，d的H—构形（即张先生的图6•2中的图2•7—1的虑线图或图2•7—3），这两种构形都是可约的构形。由于第八构形和第二构形的解决方法和结果都不相同，所以我把张先生的第八构形和第二构形是分别作为两个不同的构形分类的。
然而张先生却认为第八构形按他的“与图3-2同解的判定法则”判定为与第二个构形是同一类构形。这样的说法就与他在《探秘》书中的说法就不一样了。书中明明说的是两个不同的构形，第二个构形逆时针颠倒两次，难点转化一次得解，第八个构形是逆时针颠倒八次，难点转化七次得解，这里却怎么能说是“同解”呢。又因为第二个构形中的色链是左右对称的，所以其施行顺时针颠倒与逆行逆时针颠倒有相同的解法和结果，都是两次颠倒和一次难点转化，即可解决问题。但第八个构形中的色链却不可能是左右对称的。在施行顺时针颠倒时，需要两次颠倒，一次难点转化得解（如图3），这似乎与第二个构形是“同解”的。但若对其施行逆时针颠倒时，却需要三次颠倒，两次难点转化，才能解决问题（如图4。这里只用了三次颠倒和两次难点转化，不知张先生在书中为什么要用到八次颠倒和七次难点转化呢），却与第二个构形是不同解的。不知张先生根据什么要把这两个构形放在一起呢。我希望张先生再很好的考虑一番，我这里说得是否有道理。这也是我们俩个目前在不可免集上存在的唯一分岐了。
张先生的第八个构形，解决问题的方法与其它构形均是不同的，我叫它Z—构形，但该图的顶点数多，也不是左右对称的图，且看不出其与基图——图1的关系和其中的链的组合关系。所以我对其进行简化，得到了如图5的简图，但仍把该构形叫做Z—构形。


（本页图仍为上页图3的分图）






很明显，图2，d（即张先生的图6•2中的图2•7—2）的H—构形（赫渥特构形）与第八个构形中色链的组合关系是大不相同的，解决的办法也是不同的。而不能因为他们在作颠倒时的次数相同就划为一类。而且实际上他们颠倒的次数真是不同的，不知张先生是如何认为他们的颠倒次数是相同的呢。

现在，再看看我们两人的构形集中是不是都是相同的元素呢，如图6。你的子集合{与图3—1同解的构形}实际上与我的子集合{可同时移去两个同色的非H—构形}是同一个集合，你的子集合{与图3—2同解的构形}中仅有的两个元素只是H—构形和Z—构形，而在我的集合里也都有，M—构形在两个构形中分别都有。这不说明了我们俩的集合是完全相同吗。用文字表示则是{K—构形，3—1同解构形或同时可移去两个同色的构形，H—构形，M—构形，Z—构形或第八构形}。

现在我们来专门研究一下M—构形（如图7）的问题。M—构形无论在施行了那种颠倒后，都会得到一个H—构形（如图8），而由M—构形经过颠倒而来的H—构形则无论是施行了那种颠倒后，也都会得到一个M—构行（如图9）。





在图9中我们分别只对由图7，a的M—构形施行逆时针颠倒后得到的图8，a的H—构形和由图7，b的M—构形施行顺时针颠倒后得到的图8，d的H—构形施行两种颠倒，作以示例。
为了方便看图，首先把图8，a的非BAB型的H—构形和图8，d的非BAB型的H—构形都变化成习惯用的BAB型，然后再对这两个BAB型的H—构形再施行颠倒操作。






可以看出，由M—构形经过施行颠倒后一定会得到一个H—构形，而这个由M—构形转化而来的H—构形施行了颠倒后，也一定会变成一个M—构形，说明了M—构形与H—构形是可以相互转化的。也正是由于这个原因，才产生了在M—构形与H—构形间转化的无限循环。所以不把H—构形与M—构形及时的采用其独特的方法进行解决，就会陷入这个无限循环的陷阱之中。
H—构形与M—构形如何去区分，是一个关链问题。都以BAB型来说，H—构形中存在一条含有5—轮轮沿两个相邻顶点的C—D环形链，把两条直链的A—B链分成了环内环外互不相通的两部分，交换任一部分的A—B链，都可使构形转化成K—构形而得解；而M—构形中则存在一条含有5—轮轮沿三个相邻顶点的B—A—B环形链，把C—D链分成了环内环外互不相通的两部分，交换任一部分C—D链，都可使构形转化成K—构形而得解。
如何证明再没有别的构形了呢。在BAB型时，六种链中，在A—C和A—D链既连通又交叉（有两个共用顶点）情况下，即在坎泊没有考虑到的那一种情况下，与A—C和A—D对应的相反链B—D和B—C均不可能再连通了。这一情况下又考虑了5—轮轮沿中三个相邻顶点的邻角链B—A—B和两个相邻顶点的邻角C—D是否是环形链的各种情况；且六种链在以上的各种情况下，总是至少有一条链是可以进行交换的，其交换的结果，或是直接可空出颜色来给V，或是可使构形转化变型，成为可解的构形，从而使问题得到解决。且再不可能有别的情况出现了。所以说，上面我们得到的构形集合就是平可图的不可避免的构形的集合。
雷  明
二○一六年二月十六日于长安

注：此文已于二○一六年二月十六日在《中国博士网》上发表过，网址是：

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