就如何给极大图中增加顶点的问题与张彧典先生商榷

雷明85639720

就如何给极大图中增加顶点的问题与张彧典先生商榷
雷  明
（二○一六年二月十九日）

我们现在先不管使用给极大图中增加顶点的方法来证明四色猜测对不对，或者最后得到的结果对不对，而先来研究一下如何给极大图去增加顶点的问题。
张先生在2月13日《回复xyzxyz先生转发“82615471”先生的问题之一》的贴子中说：“当用数学归纳法证明‘第 n+1 点加入含有 n 个点的极大平面图时’，不仅要考虑第 n+1 点在任意一个三角形平面内以及任意一边上加入两种情形，而且还要考虑第 n+1 点在任意一个三角形之任意一个不同度数顶点内部加入的情形，这样，从点、线、面三个位置考虑才是完整的证明。对于从不同度数点的内部加入情形，看了许多人的证明，是没有讨论的。如果考虑这种情形的话，就又返回 Kempe 的四种不可避免构形中去了：即从2、2、4、5度顶点加入的情形。所以只是考虑两种情形的证明是不完整的。”
我认为这种说法是不对的，当即就在同一天回复如下：“张先生，你说在极大图中增加顶点时，‘还要考虑第 n+1 点在任意一个三角形之任意一个不同度数顶点内部加入的情形’，这句话是什么意思呢，我看不明白。第n+1个顶点，是一个顶点；不同度数的顶点也各是一个顶点，如何能实现一个顶点（第n+1个顶点）在另外一个顶点（不同度数的顶点）内部的加入呢。你能用图示来说明吗。我只能看到可以在三角形面内部加入顶点，也可看到在三角形面的边上加入顶点，还不能看出如何在三角形面的顶点内部加入顶点的。是的，82615471指出的‘用第 n+1 点与有 n 个点的极大平面图的 3 个点相连接证明的’这一方法或许是不正确的，但也不能为了对其进行否定，而提出在‘任一个三角形之任意不同度数顶点内部加入’‘第n+1个顶点’的主张呀。如何‘加入’呢。我很想弄明白，请明示。雷明”
张先生当即也回复：“你看过我的1994年论文了吗？那里的x加入的几种情形不就是第k+1点加入k个点的极大平面图（我的每一个图示之右图就是）的情形吗？退一步讲，你只在包含k个点的平面上加入时，这个加入点成为3度顶点，在其任意一边上加入时，这个点成为4度顶点，在什么情形加入时成为5度顶点呢？肯定漏掉了Kenpe的这种构形，如果不讨论5度顶点的构形染色，四色猜想的证明就不完整。对吗？再之，任意一个极大平面图都是由点、边、面三大元素组成，所以你讨论第K+1点加入其中时必须考虑三大元素的情形。我想这样考虑问题才全面吧。”
次日（14日），我又回复：“张先生，你要知道这是在一个极大图中增加顶点的，而且增加了顶点后的图仍然还要保持是极大图，所以只能在面内或边上增加顶点。你说的那种增加顶点的方法，也不是不可以，但不符合这里的要求。我在给你发贴时已经估计到你会这样来回复我的。按你那样增加顶点的方法，就不能保证图仍是极大图了。比如说，你在一个5度的顶点内增加一个顶点（实际上你是增加了一个面），这个图就没有5度顶点了，而变成了5个3度的顶点，增加了4个顶点，但只增加了一个面（在面内或边上增加顶点时，只是增加了一个顶点，增加了两个面和3条边的）。关于用这种在极大图内增加顶点的办法来证明四色猜测对不对，要从两个方面来分析。一是在证明中不可能遇到5度顶点，难道一定要遇到它吗，的确证明中每增加一个顶点所得到的图中一定是存在5度顶点的。二是证明中非得要遇到5度顶点，那么这种证明方法显然是有问题的。但82615471他就只是反对，并没有指出其中的问题，这当然是不能另人信服的。这也就是他们这些不具体研究四色问题的人的一贯态度。
“关于你1994年的文章中的图，那里与这里的问题是不一样的。你那里右边的图是左边地图的对偶图，你看一看你左图的对偶图是不是右图呢。只是图中既有对偶图的成份，又地图的成份，难以看明白。你这种画法与敢峰先生的画法是一样的，既有地图的部分（右图中心部分），又有对偶图的部分（右图中心部分的外围部分），这样的图，的确没有你后来在《探秘》书中全部改用对偶图画出的图容易看懂。张先生你说，是不是这样呢。
张先生15日又回复：“1、论图同意我的观点：若没有在点上加点，则就是重庆的大学生肖开洲所犯的错误了。如果再次讨论不大于5度顶点的情形，又返回肯普证明中了。你说不必考虑加入5度顶点的情形，这样四色猜想就变样了吧。因为肯普已经证明含5度顶点的构形是不可避免的，怎么能说‘不可能遇到5度顶点’呢？2、我的1994年文章中的图示左右图是不一样的，文章中已经交代了左图是顶点数不大于5，右图是大于5的无限多个点的图。”
16日我回复如下：“朋友，在极大图中增加顶点，你如何能在点上加点呢，画出来的图将是什么图呢，能保持图还是极大图吗。你这种说法明明是把一个顶点变成一个面了嘛，又增加了与该顶点度数相同的若干个三度顶点，你画一画试试看。如果你把在顶点上增加顶点的图画出来（不用敢峰那种一半地图，一半对偶图的形式画），看看是个什么样子呢。这正如要在正规地图中增加面（区域）一样，你如何在面中去增加面呢。如果在面中增加面，又不与其边界共用顶点，那不就是一个国中之国吗，可这样的地图在正规地图中规定是不存在的。我说的‘不可能遇到5度顶点’是说在极大图的边上、面内增加顶点是不可能遇到5度顶点的，并没有说在证明猜测中不可能遇到5度顶点的。任何平面图中一定有一个顶点的度不大于5，这我还没有忘记，我能说在证明猜测中不可能遇到5度顶点吗。我还没有那么傻吧，我也不至于连这一点最基本的知识都不知道吧。”
“你杂志上的图9、图10、图11三个图，左右两边不同我早已看出了。我只是说你三个图的左边画出其对偶图时，实际上是完全相同的。把三个图的右边全用对偶图画出时，其实也是完全相同的。”
张先生，后来再也没有看到你的回复了，我现在把我在极大图的边上和面中增加顶点的方法画出来，与你交换；也请你把你在极大图顶点上增加顶点的方法画出来，我向你学习，看我是否能指出你的不对之处。我认为你只所以提出在顶点中增加顶点的问题，这与你在1994年的文章中画图与敢峰的图相同有很大的关系。
在极大图的边上和面中增加顶点的画图方法如图1。在极大图的边上增加一个顶点（如图1，a），这个顶点最大只能是4度，图中增加了一个顶点，三条边，两个面；在极大图的面中增加一个顶点（如图1，b），这个顶点最大是3度，图中也增加了一个顶点，三条边，两个面。两图仍然是极大图。如何在“任一个在三角形之任一个不同度数顶点内部加入”顶点，我还是不可想象，请你画出图来指教。

对你1994年发表的文章中图9、图10和图11三个图分析如下：
三个图的左边，实际上都是同一个图（如图2），它们的对偶图也都是同一个图，它们都是同时可以移去两个同色的图，只是两条连通链A—C、A—D都是单边链。

三个图的右边，实际上也都是同一个图（如图3），也都是可以同时移去两个同色的图，只是两条连通链A—C、A—D都是多边链。这就是你所说的“右图是大于5的无限多个点的图”。图9右图和图10右图的对偶图是相同的（如图3，c）；图11右图的对偶图则不同，连通的A—C、A—D链有了第二个相交顶点（但不是交叉顶点，如图3，e）。虽然如此，这三个图都是可同时移去两个同色的图，所以图11右图的对偶图也可以画成与前两图的对偶图是相同图（如图3，f）。

你问我“你看过我的1994年论文了吗？那里的x加入的几种情形不就是第k+1点加入k个点的极大平面图（我的每一个图示之右图就是）的情形吗？”请你说明白，你这里是在那个顶点“内”加入了那个顶点呢。我在回复你时已经说过了，“按你那样增加顶点的方法，就不能保证图仍是极大图了。比如说，你在一个5度的顶点内增加一个顶点（实际上你是增加了一个面），这个图就没有5度顶点了，而变成了5个3度的顶点，多增加了4个顶点，但只增加了一个面（在面内或边上增加顶点时，只是增加了一个顶点，增加了两个面和3条边的）。”请你看一看你的三个图的右图中还有没有5度的顶点了呢，是不是又多出了5个3度顶点和一个五边形的面x呢。既然图中有了一个面x的边数是大于3的，那么它就不可能再是极大图了。与原题要求的要保持图还是极大图是不符合的。张先生，我在前面回复你时说过的没有错吧。
如果把你的三个图右图中的x认为是在某个面中加入的一个5度顶点，那么这个顶点至少需要在一个边数是大于等于5的面中才能加入的，这样在未加入该顶点之前的图就不再是极大图了（因为其中有一个面的边数是大于3的），这也是与原题意不相符合的。张先生，你看是不是这样呢。
你说三图的左图是顶点数等于5的图，而三图的右图是顶点数大于5的图，这是没错的。但左、右图都是有两条连通链A—C和A—D的，且两链中间没有交叉顶点，只是A—C和A—D链的长短不同罢了，但都是可以同时移去两个同色B给x的，所以我认为左右两图图虽不同，但实际上构形是相同的。
请张先生在不忙时给以答复。


雷  明
二○一六年二月十九日于长安
   
注：此文已于二○一六年二月二十日在中国博士网》上发表过，网址是：

雷明85639720

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