因式分解

电子恐龙

因式分解：a^12+a^9+a^6+a^3+1
12次，9次，6次，3次

珠穆亚纳

参阅我的<因式分解>系列,有方法.

电子恐龙

在第几页哪?

珠穆亚纳

一共三篇连续文章,给你个连接:
http://bbs.mathchina.com/cgi-bin/topic.cgi?forum=5&topic=651
http://bbs.mathchina.com/cgi-bin/topic.cgi?forum=5&topic=652
http://bbs.mathchina.com/cgi-bin/topic.cgi?forum=5&topic=653

[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 珠穆亚纳 在 时添加 -=-=-=-=-
其中续篇1你还参加过讨论.

didigene

[这个贴子最后由didigene在 2006/02/21 04:42pm 第 2 次编辑]

x^12+x^9+x^6+x^3+1在有理数范围是不能因式分解的，所以这题宜用求根的方法解。
解：设方程 x^12+x^9+x^6+x^3+1=0 (1),在复数域的12个根分别为：w0,w1,w2,...,w11, 则，x^12+x^9+x^6+x^3+1可以因式分解为：(x-w0)(x-w1)(x-w2)...(x-w11) (*), 由等比数列和可知，(1)两边同乘以x^3-1,得：x^15-1=0, => x^15=1 (2), 方程(2)在复数域有15个根：u0,u1,u2,...u14，其中只有一个实根u0=1,其余14个是虚根。15个根在复平面中的位置如图所示，这15个根的模均为1，辐角主值分别为：0,2π/15,4π/15,6π/15,...,28π/15.除去x^3-1=0的三个根u0,u5,u10,其余12个根正好是方程(1)的12个根。由于是在实数范围内因式分解，系数都应该是实数，所以将12个根中，每两个共轭根为一组，因式分解式(*)中含有共轭根的两个因式相乘，由于两个共轭虚数的和与积都是实数，则两因式相乘后系数不再含有虚数。uj=cosθj+i*sinθj的共轭根为u';j=cosθj-i*sinθj, uj+u';j=2cosθj,uj*u';j=(cosθj)^2+(sinθj)^2=1, 则(x-uj)(x-u';j)=x^2-2cosθj+1.
    综上所述，x^12+x^9+x^6+x^3+1因式分解为：
(x^2-a1x+1)(x^2-a2x+1)(x^2-a3x+1)(x^2-a4x+1)(x^2-a5x+1)(x^2-a6x+1)
其中: a1=2cos24°,a2=2cos48°,a3=2cos72°,a4=2cos96°,a5=2cos144°,a6=2cos168°.

艾吉布雷苏

这是几年的？

didigene

你是问什么几年的？

艾吉布雷苏

题呀

珠穆亚纳

didigene 的因式分解对于本题的最终分解是典型的万能方法,不过对于初中层次尚无作用.

wangyangkee

顽石，成功数学家，达到指斥康托答陆教授问的高峰
elimqiu老师达到与顽石先生不相上下的学术高度！
申一言，单位论，战无不胜
俞根强，理直气壮闹蠢货；俞氏荣耀走下坡路--------