看完这个，你还认为自己懂勾股定理吗？

shuai_shi

（注：文中涉及到一些逻辑推导，普通读者可以略过，这并不影响对结论的理解。自认为思维能力强的读者可以通篇阅读）

我们从初中，甚至小学就听说过勾股定理，也能很轻易的举出几个例子，比如：，。公元前十一世纪，周朝数学家商高就提出“勾三、股四、弦五”，这也是在中国古代历史上众所周知的一些数学成就中的一个，因此许多人把它当做是中国的骄傲。勾股定理的具体定义为：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

其实，在公元前约三千年的古巴比伦人就知道和应用勾股定理，他们还知道许多勾股数组。美国哥伦比亚大学图书馆内收藏着一块编号为“普林顿322”的古巴比伦泥板，上面就记载了很多勾股数组。(3, 4, 5)就是最简单的一个勾股数组。

虽然古巴比伦和中国在很早就发现并应用了勾股定理，但是这个定理直到公元前六世纪才被希腊数学家毕达哥拉斯所证明，因而在数学界这个定理称为毕达哥拉斯定理（Pythagorean Theorem），勾股数组也称为毕达哥拉斯三元数组（Pythagoream Triples）。这充分说明了数学重在逻辑的严谨性，而不是其应用性。下面我们将使用数学界公认的名字来叙述它。

毕达哥拉斯像

我们知道(3, 4, 5)和(5, 12, 13)都是毕达哥拉斯三元数组，那么还有没有其他的毕达哥拉斯三元数组呢？

如果将(3, 4, 5)中的每一个都乘以一个相同的正整数k，显然有

由此可知(3k, 4k, 5k)同样也是一个毕达哥拉斯三元数组。由于k可以是任意的正整数，因此我们可以说毕达哥拉斯三元数组有无穷多个。但是，我们知道，这样的(3k, 4k, 5k)与(3, 4, 5)本质上没有什么区别，以它们为边的直角三角形是相似的，找到再多也没有多大的意义。我们要找的是没有公因子的三元数组，即素毕达哥拉斯三元数组。那么是否存在无穷多个没有公因子的三原数组呢？通过下面的讨论，不仅可以知道答案是肯定的，而且还能总结出一个能够得到所有素毕达哥拉斯三元数组的方法。

下表中列出了几个素毕达哥拉斯三元数组：
(3, 4, 5)
(5, 12, 13)
(15, 8, 17)
(21, 20, 29)
(35, 12, 37)
...
从中可以看出，最后一个都是奇数，前两个中，一个是奇数，一个是偶数。让我们来简单的分析一下这是不是一定成立。

令(a, b, c)是一个素毕达哥拉斯三元数组。如果a与b都为偶数，那么c也是偶数。这样a、b和c有公因子2，这与(a, b, c)是一个素毕达哥拉斯三元数组相矛盾。

如果a与b都为奇数，那么c为偶数。这意味着存在正整数x、y和z，使

将之代入 ，得到


上式除以2，得

最后的等式表明一个奇数等于一个偶数，这是不可能的，所以a与b不能同时是奇数。

我们知道a与b一个为奇，一个为偶。由此，c必定为奇数。

到此，如果(a, b, c)是一个素毕达哥拉斯三元数组，那么c一定是奇数，a与b一个为奇数，一个为偶数。

考虑的因式分解

根据前面的例子，我们让a始终为奇数、b为偶数，则有以下等式





...
我们看到，在上面几个例子中，等式最右边的两个数都是平方数(某个整数的平方)。那是不是所有的(c + b)和(c - b)都是平方数呢？下面我们来看看这个结论是否成立。

首先我们要证明(c + b)与(c - b)没有公因子。

不妨假设(c + b)和(c - b)有公因子p，则p能整除以下两个等式

即p能整除2c和2b。但是c和b没有公因子，因为(a, b, c)是素毕达哥拉斯三元数组。因此，p只能整除1或者2。但是p能整除，而a为奇数，所以p只能整除1，即p = 1。这就证明了(c + b)与(c - b)没有公因子。

再者，令p是a的一个素数因子，则整除，根据上面的讨论，只能整除(c + b)和(c - b)中的一个。对于a的所有素数因子，有

适当交换顺序，则存在使


于是，我们可以得出结论：如果(a, b, c)是一个素毕达哥拉斯三元数组，那么(c + b)与(c - b)是一定都是平方数。这样，我们能把(c + b)和(c - b)写成

其中，s和t是互素的奇数。我们得到



考虑三原数组

如果p是这三个数的公因子，则p显然整除后两个数的和，同样整除后两个数的差，从而p整除s且p整除t。而根据假设，s和t互素，所以p = 1，因而此三元数组中的数互素。再者，进过简单计算可知以下等式成立

讨论进行到这里，我们终于得出了最终的结论：如果s和t是互素的奇数，且，那么a、b和c：

组成一个素毕达哥拉斯三元数组(a, b, c)。

这样，我们得到了一个找出所有满足的素毕达哥拉斯三元数组(a, b, c)的一般方法。

现在我们应用这个方法来找出一组(a, b, c)。令s = 9，t = 11，则

读者可以自行验证一下等式：是否成立。

注：我们特意准备了1000组这样的三元数，有兴趣的读者请扫描下方二维码关注本公众号，然后回复“三元数”进行查看。

“什么是数学”公众号的使命，就是和大家一起重新认识数学，了解数学的思想和方法。长按下方二维码，即可关注“什么是数学”公众号。