请教：关于逆否命题

popo

在逆否命题的运用上，遇上个不理解的地方
内容是初中几何的。特向大家请教
已知：一个四边形有外接圆，则该四边形对角互补
求证：该命题的逆命题：如果某四边形对角互补，该四边形有外接圆
我不用通常的几何方法证明，用反证法+逆否命题来证明，证明如下：
用反证法：
  假设某四边形对角互补，该四边形没有外接圆是真命题
  则其逆否命题：有外接圆的四边形，对角不互补，也是真命题（因为逆否命题必然同真同假）
  该结论与已知矛盾，因此有外接圆的四边形，对角不互补是假命题
  所以：某四边形对角互补，则该四边形有外接圆[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 popo 在 时添加 -=-=-=-=-
但这种证明是有问题的：
因为它意味着原命题、逆命题、否命题和逆否命题都是同真同假的[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 popo 在 时添加 -=-=-=-=-
我不知道问题出在哪里，特向大家请教，先谢谢了

luyuanhong

下面引用由popo在 2010/10/04 11:16pm 发表的内容：
在逆否命题的运用上，遇上个不理解的地方
内容是初中几何的。特向大家请教
已知：一个四边形有外接圆，则该四边形对角互补
求证：该命题的逆命题：如果某四边形对角互补，该四边形有外接圆
...

我们要弄懂什么是“逆否命题”。逆否命题是两个推理之间的关系：
    第一个推理：如果 A 成立，那么 B 也必定成立。
    第二个推理：如果 B 不成立，那么 A 也必定不成立。
这样的两个推理，条件和结论颠倒，并改为相反语句，就互为“逆否命题”。
两个互为逆否命题的推理，或者同时成立，或者同时不成立。
    例如：
第一个推理：如果一个四边形有外接圆，那么这个四边形必定对角互补。
第二个推理：如果一个四边形对角不互补，那么这个四边形必定没有外接圆。
这样的两个推理，互为“逆否命题”。实际上，它们是同时成立的。
    又例如：
第一个推理：如果一个四边形对角互补，那么这个四边形必定没有外接圆。
第二个推理：如果一个四边形有外接圆，那么这个四边形必定对角不互补。
这样的两个推理，也互为“逆否命题”。实际上，它们是同时不成立的。
    但是，你用反证法时提出的假设：
“假设某四边形对角互补，该四边形没有外接圆是真命题”，这句话
实际上就是说：“存在一个四边形，这个四边形对角互补而且没有外接圆。”
这句话里没有“如果…，那么…”，它不是一个推理关系，它与我上面举的例子：
“如果一个四边形对角互补，那么这个四边形必定没有外接圆。”不是一回事。
所以，不能认为它的逆否命题就是：“如果一个四边形有外接圆，那么它必定对角不互补。”
（也就是你说的：“有外接圆的四边形，对角不互补”。）

popo

嗯，谢谢解答
也许这么表述更正确些：
命题是可以确定真假的陈述性语句，但可以假设其真假以支持后面的推导吗？
（好象可以吧）
那么这么证明：
如果一个四边形对角互补，那么其没有外接圆
其逆否命题：如果一个四边形有外接圆，那么其对角不互补
两者同真同假，由于后一命题与已知的正确命题矛盾，所以其必然是假命题
那么就证明了：如果四边形对角互补，那么其有外接圆
-------------
如果拓展一下，写成命题的一般形式：
已知A可推导出B为真
求证其逆命题：B推导出A，是否为真
用同样的方式来证明：
B推导出非A  与其逆否命题：A推导出非B  两者同真同假
而A推导出非B，又与正确的已知命题矛盾了
则原命题的逆命题必然为假
----这样一个，一个原命题成立，则其逆命题和否命题必然不成立了
    好象也不对啊，问题出在哪里？……
[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 popo 在 时添加 -=-=-=-=-
如果命题的真假是可以假设的
那么我引入反证法来组合运用命题逻辑
好象就没有问题吧

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2010/10/05 06:52am 第 1 次编辑]

下面引用由popo在 2010/10/05 02:41am 发表的内容：
嗯，谢谢解答
也许这么表述更正确些：
命题是可以确定真假的陈述性语句，但可以假设其真假以支持后面的推导吗？
（好象可以吧）
...

    你的问题在于，你把特称命题“存在一个 B ，使得 A 不成立”与
全称命题“任何一个 B ,都可以使得 A 不成立”当作一回事了。
下面看一个例子：
    已知命题“如果一个四边形是正方形，那么它的对角必定互补”是成立的。
它的逆命题是：“如果一个四边形对角互补，那么它必定是正方形”。
   下面模仿你的做法，证明上述逆命题成立。
【证】 用反证法，假设“如果一个四边形对角互补，那么它必定是正方形”不成立，
也就是说“存在一个四边形，它的对角互补，但它不是正方形”。
    模仿你把上面这句话转化为“如果一个四边形对角互补，那么其不是正方形”。
其逆否命题是“如果一个四边形是正方形，那么其对角不互补”，两者同真同假。
由于后一命题与已知“如果一个四边形是正方形，那么它的对角必定互补”矛盾，
所以它必然是假命题，所以，前面提出的反证法假设不成立，这样就证明了：
“如果一个四边形对角互补，那么它必定是正方形”。
    上述证明得到的结果，当然是错误的。那么，问题出在哪里呢？
    问题在于：你把命题“存在一个四边形，它的对角互补，但它不是正方形”
与命题“如果一个四边形对角互补，那么其不是正方形”当作一回事了。
    这两个命题不是一回事。
    前一个命题，是说：存在一个四边形，它的对角互补，但它不是正方形。
    后一个命题，是说：任何一个四边形，只要对角互补，就必定不是正方形。
前一个是特称，说的是“存在一个”，后一个是全称，说的是“任何一个”，
前一个命题是成立的，因为确实有某些四边形，它的对角互补，但它不是正方形。
后一个命题是不成立的，不能说“任何四边形，只要对角互补，就必定不是正方形”。
这两者是不一样的，你明白了吧？
    再回到你的证明：
    已知命题“如果一个四边形有外接圆，那么它的对角必定互补”是成立的。
它的逆命题是：“如果一个四边形对角互补，那么它必定有外接圆”。
    要证明上述逆命题成立。
【证】 用反证法，假设“如果一个四边形对角互补，那么它必定有外接圆”不成立，
也就是说“存在一个四边形，它的对角互补，但它没有外接圆”。
    你把上面这句话转化为“如果一个四边形对角互补，那么其没有外接圆”，
也就是说“任何一个四边形，只要对角互补，就必定没有外接圆”。
    然后你就一路证明下去了。
    你后面的证明都是对的，错误就发生在上面那个转化的地方，你把特称命题
“存在一个”错误地转化成了全称命题“任何一个”，这样证明下去当然就不对了。

popo

再次谢谢解答，
我用一般形式来表述一下：
已知A→B为真
求证：B→A是否为真
证：
假设B→A为假，则B→非A为真
那么其逆否命题 A→非B也为真
与已知矛盾
所以：B→A为真
问题似乎出在反证法的转化上
这部分：假设B→A为假，则B→非A为真
即：“→”不是非此即彼的关系
B→A为假，不能说明B→非A为真
[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 popo 在 时添加 -=-=-=-=-
比如上面你说的题：
如果一个四边形对角互补
那么它可以是正方形，也可以不是正方形
用反证法的过程中，却把问题给转化为非此即彼的关系了：要么是正方形，要么不是正方形
于是得出了后面的结论

popo

但还有一点没搞明白：
为什么逆否命题一定同真同假呢
如何证明的？

luyuanhong

下面引用由popo在 2010/10/05 01:30pm 发表的内容：
再次谢谢解答，
我用一般形式来表述一下：
已知A→B为真
求证：B→A是否为真
证：
假设B→A为假，则B→非A为真
那么其逆否命题 A→非B也为真
与已知矛盾
所以：B→A为真
问题似乎出在反证法的转化上
这部分：假设B→A为假，则B→非A为真
即：“→”不是非此即彼的关系
B→A为假，不能说明B→非A为真

很好！你的理解很对，看到了问题的关键之处。

popo

一个命题的派生命题，可以有8种：
A→B  非A→非B  B→A  非B→非A
（这四种是所谓的原、否、逆、逆否关系）
A→非B  非A→B  B→非A  非B→A
（后面四种可以称为半否类命题）
如何来一般性的理解相互间的关系呢？
各类命题的关系，到底是什么含义？[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 popo 在 时添加 -=-=-=-=-
在这8种命题中
存在着4对逆否关系啊[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 popo 在 时添加 -=-=-=-=-
再进一步，那么：
所谓的“逆”和“否”
到底是什么含义呢[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 popo 在 时添加 -=-=-=-=-
为什么逆否命题一定同真同假
而其他命题对却没有这种关系呢

changbaoyu

有创意提得好！[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 changbaoyu 在 时添加 -=-=-=-=-
把问题给转化为非此即彼的关系了：要么是正方形，要么不是正方形
为什么逆否命题一定同真同假

luyuanhong

下面引用由popo在 2010/10/05 01:35pm 发表的内容：
但还有一点没搞明白：
为什么逆否命题一定同真同假呢
如何证明的？

这可以用图示的方法来证明。