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[这个贴子最后由elimqiu在 2010/10/05 09:19pm 第 1 次编辑]
所谓逻辑地构造数系，是指从一组存在公理和生成公理演绎地论证具有一些运算及性质的集合的存在性。
于是我们首先要有集合的概念，以及集合的基本性质，集合的运算的定义和法则。
例如 A×B = {(a,b) | a∈A, b∈B}, A∪B = {x | x ∈ A 或 x ∈ B}
    A∩B = {x | x ∈ A 且 x ∈ B }, A∩(B∩C) = (A∩B)∩C,
    A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C) 等等
其次我们需要有映射，关系的概念，在公理化数学中，映射和关系是满足某些性质的特殊的集合。
对于一个非空集合A,从A×A到A的映射叫做A中的二元运算， 从A到A的映射叫作A中的一元运算。一般地， A1×…×An 到 C 的映射叫作一个n元广义运算...
例如 N 中的加法就是 N×N 到 N 的一个二元运算 (m,n) ├→ m+n
    而 n ├→ n';=(n+1) 是 N 上的一个一元运算（后继运算）
我们需要相等的概念。集合A中的相等 = 是A中的一个关系，满足
x = x （自反性）， x = y  → y = x （对称性）， (x=y)∧(y=z)  → x = z （传递性）
我们需要顺序（大小）的概念。 集合A中的序 < 是A中的一个关系，满足
x < y, x = y, y < x 有且仅有其一成立（三岐性）
(x ≤ y)∧(y ≤ z)  → x ≤ z （传递性）
注记：这里我们记 (x < y 或 x = y) 即 非(y < x) 为 x≤y,
为了方便，随时可用记号 y > x 代替 x < y, 用 y ≥ x 代替 x ≤ y。
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由集合论中的无穷公理以及一些辅助的生成公理可以得出满足 peano 公理的集合的存在性。
【自然数公理】存在一个集合N 以及 N 上的一个一元运算 '; (后继), 满足
（1） 0 ∈ N
（2） 存在N上的一个一元运算 '; (后继运算)。 即 n ∈ N → n'; ∈ N
（3） 后继运算是单设： (a'; = c)∧(b'; = c) → a = b  即N的元至多是N中一个元的后继。
（4） 0 不是N中任何元的后继。 即0是‘起始元’
（5）((S是N的子集)∧(0∈ N)∧(n∈S → n';∈S)) → S = N 即 N 是 0 以及 0 的有限代后继的全体。
（N的元若非起始元必为某元之后继）
称N的元素为自然数。上面的（5）是数学归纳法的形式化。
记 0'; 为 1 即0的后继记为 1 （叫作1）
在N定义一个二元运算 + （加法） 如下：
0 + n = n + 0 = n
n + 1 = n';
n + m'; = (n+m)';
可以证明（用归纳法）， 如此定义的加法是完全的，无岐议的，且满足
a + b = b + a  （交换律）
a + (b+c) = (a + b) + c （结合律）
0 是加法运算下的单位 （幺元）  【注意这是运算意义而不是度量意义下的单位】
一个集合在某运算下满足结合率，则称其（相对于该运算）为半群；如果这个运算又有幺元，则称其（相对于该运算）为幺半群。
所以可以简单地说 N 是一个加法幺半群。这就是为什么现代的自然数公理以 0 为起始元。
在N定义一个序关系 < （小于） 如下：
x < y 当且仅当有某 m∈ N 使得  x + m'; = y
可以证明（归纳法）， < 满足是三岐性和传递性
并且有  x < y   →   x+z < y + z  （加法的保序性）
在 N 定义一个二元运算·（乘法）如下：
n·1 = n
n·m';=n·m + n
可以证明（用归纳法）， 如此定义的加法是完全的，无岐议的，且满足
a·b = b·a  （交换律）
a·(b·c) = (a·b)·c （结合律）
1 是乘法运算下的单位 （幺元）
n·0 = 0    (用归纳法 n = n·1 = n·0 + n  →   n·0 = 0)
简记 a·b 为 ab, 关于乘法和序还有（保序性） x > 0, y < z → xy < xz  
所以可以简单地说 N 是一个保序的乘法幺半群。
N 的加法，乘法又满足
a(b+c) = ab + ac, (a+b)c = ac + bc (由于乘法的交换性，我们只需要一侧的分配律)
定义半环是由乘法对加法的分配律结合在一起的加法半群兼乘法半群。
于是我们说 N 是一个保序的幺半环。
自然数系就是这么回事了。由此已经可以建立哥猜等论题。
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我们需要逆运算的概念：
A 上的一元运算无非就是A到自身的一个映射，其逆运算，如果存在的话，就是其逆映射。
二元运算 f 的逆运算 g,h 就是使得 f(g(a,b),b)=a, f(a,h(b,a))=b 的运算。 【当 f 满足交换律时 g = h】
举例来说， x^2 的逆运算就是开平方。 减法 a - b 就是方程 x + b = a 的解等等
我们需要运算的封闭性概念：
如果我们在N上定义按上述方式定义减法， 那么  2 是方程 x + 1 = 3 的解， 于是 3 - 1 = 2 很对。
但是 x + 3 = 1 在N中没有解。所以我们就说作为N的加法的逆运算减法在N中不封闭。
每次对数系的扩充的都是对数系的某种‘运算’的不封闭的解决。
上面对减法的封闭性要求就产生了负数的概念。直观地说我们定义一个集合
N_ = { (-,n';) | n ∈ N }, 由于生成公理，N_ 的存在没有问题。我们称N_ 的元为负整数，n';为正整数，Z = N ∪ N_ 的元为整数，并且简记 (-,n';) 为 -(n';) 并且定义
1) Z保持N的元的加法
2) (n+m)';+(-(n';)) = m
3) n +(-(n+m)';)= -(m';)
4) (-(m';))+(-(n';))=-(m';+n';)
可以证明(归纳法)Z上的这种加法使得加法的逆运算可以通行。即Z的每个元都有加法逆元。
n的逆元记作-n, 于是 -0 = 0, -(-n) = n 等等。
于是Z对加法成为加法群 （每个元有加法逆元的加法幺半群）
定义 (-n)m = n(-m) =  - (nm), 则N的乘法扩充到了Z，且Z是这种乘法的交换幺半群
可以证明Z中乘法对加法的分配律成立，于是称Z为整数环。
Z 的序关系有N的序关系自然扩充而来： x + n'; = y  等价于 x < y. 其中 n 是自然数。
容易证明加法对序关系的保持，乘正整数对序关系的保持。
这样我们就完成了整数系的逻辑构造。
考虑 Z\{0} 作为一个乘法幺半群的乘法逆，类似地我们就可以得到非0有理数的逻辑构造。Q* = Q\(0},使得Q\(0成为一个乘法群。 在Q = Q* ∪ {0} 上定义加法，使之成为加法群，于是就进一步知道 Q 成为一个数域。数域就是由乘法对加法的分配律连接起来的加法群兼去0乘法群。
简单说来数域就是对四则运算封闭的数系。
由Z的序关系自然地得到 Q 的序关系。 这种序关系与作为子集的Z本身序关系协调。
Q 具有我们熟悉的运算对序关系的保持。
Q 保持了 N， Z 的阿基米德性： 任给有理数 a, b, a > 0, 存在正整数 n 使得 na > b
这个性质导致 Q 的稠密性。
从有理数域Q到R以至于C的严格而漂亮的构造，可以参考Rudin的数学分析原理。
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发表于 2010-10-6 02:15
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发表于 2010-10-6 09:42
