非常数多项式 f(x) 复合 n 次等于相乘 n 次 f(f(…f(x)…))=[f(x)]^n ，求 f(x) 和 n

luyuanhong

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

中国上海市

f(x)=x^2

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f(x)=x^2

luyuanhong

当 n=1 时，显然任何多项式都满足 f(x)=f(x) 。

设 f(x)=ax^m ，其中 a 是非零实数，m 是正整数。

当 n=2 时，

f(f(x))=a(ax^m)^m=a^(m+1)x^(m^2) ，

f(x)f(x)=(ax^m)(ax^m)=(a^2)x^(2m) 。

要成立 f(f(x))=f(x)f(x) ，就必须有 m^2=2m ，即要有 m=2  。

同时当 m=2 时，还要有 a^3=a^(m+1)=a^2 ，显然必须有 a=1 。

可见，f(x)=x^2 ，n=2 是符合条件的一个解。

luyuanhong

一般来说，如果 f(x) 是 m 次多项式，则复合 n 次后，会得到

一个 m^n 次多项式，而相乘 n 次后，只会得到一个 mn 次多项式。

要有 f(f(…f(x)…))=[f(x)]^n ，至少必须有 m^n=mn ，即要有

            m^(n-1)=n ，m=n^[1/(n-1)] 。

当 n=2 时，m=2^[1/(2-1)]=2^1=2 。

当 n=3 时，m=3^[1/(3-1)]=3^(1/2) 不是整数。

当 n=4 时，m=4^[1/(4-1)]=4^(1/3) 不是整数。

当 n=5 时，m=5^[1/(5-1)]=5^(1/4) 不是整数。

…………

可见，当 n＞1 时，只有 m=2 ，n=2 ，才有可能得到符合条件的解。

当 m=2 时，设 f(x)=ax^2+bx+c ,其中 a,b,c 都是实数，a≠0 。

     f(f(x))=a(ax^2+bx+c)^2+b(ax^2+bx+c)+c

=(a^3)x^2+(2a^2)bx^3+a(2ac+b^2+b)x^2+b(2ac+b)x+c(ac+b+1) 。

    f(x)f(x)=(ax^2+bx+c)(ax^2+bx+c)

=(a^2)x^4+(2ab)x^3+b(2ac+b^2)x^2+2bcx+c^2 。

要成立 f(f(x))=f(x)f(x) ，比较上面两式的系数，可以推出必有

             a=1 ，b=0 ，c=0 。

所以当 m=2 ，n=2 时，必有 f(x)=x^2 。