n 为大于 1 的整数，使得 (x+1)^n-x^n-1 有重因式，求 n

luyuanhong

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

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当n为何值时,(x+1)^n-x^n-1有重因式

luyuanhong

题 n 为大于 1 的整数，使得 (x+1)^n-x^n-1 有重因式，求 n 。

解  当 n=7 时，

   (x+1)^7-x^7-1 = 7x^6+21x^5+35x^4+35x^3+21x^2+7x

    = 7x(x+1)(x^2+x+1)^2 。

   有重因式。

   当 n=13 时，

  (x+1)^13-x^13-1

  = 13x^12+78x^11+286x^10+715x^9+1287x^8+1716x^7+1716x^6+1287x^5+715x^4+286x^3+78x^2+13x

  = 13x(x+1)(x^2+x+1)^2(x^6+3x^5+8x^4+11x^3+8x^2+3x+1) 。

   有重因式。

   当 n=19 时，

   (x+1)^19-x^19-1

  = 19x^18+171x^17+969x^16+3876x^15+…+3876x^4+969x^3+171x^2+19x

  = 19x(x+1)(x^2+x+1)^2(x^12+6x^11+28x^10+85x^9+…+85x^3+28x^2+6x+1) 。

   有重因式。