方程X^2+Y^2+Z^2=W^2与X^3+Y^3+Z^3=W^3的解

fmcjw

1:

对于四元二次齐次方程x^2+y^2+z^2=w^2，我们完全可以像对方程x^2+y^2=z^2进行求解一样求出其解。它的通解式为：

              x=a+(ab+ad+bd)^1/2

  A={      y=b+(ab+ad+bd)^1/2

              z=d+(ab+ad+bd)^1/2​

              w=a+b+d++(ab+ad+bd)^1/2​

由解A即可求得​方程x^2+y^2+z^2=w^2的正整数解为：

                        x=m

B={                  y=m+1                          

                        z=m^2+m

                       w=m^2+m+1​

和

                       x=2m

B'={               y=2m

                       z=2m^2_1

                      w=2m^2+1​

这就是说对于自然数​m^2+m+1​和2m^2+1​，它们的二次幂均可分为三个自然数的二次幂之和。所以方程x^2+y^2+z^2=w^2有无穷个正整数解。

2:

对于方程​X^3+Y^3+Z^3=W^3又有无正整数解呢？经过求解后得出这个方程有正整数解为：

                          x=3m​

   C={                 y=4m

                          z=5m

                         w=6m

这就是说对于形如​6m（6m=6，12，18，24，、、、，）的自然数，它们的三次幂均可分为三个自然数的三次幂之和。

将此方程X^3+Y^3+Z^3=W^3与​方程X^3+Y^3=Z^3比较说明边长为6的整数倍数的正方体均可分为三个正方体。但是，任意正整数为边长的正方体却一定不能分为两个正方体。

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