已知正整数 n 能使不等式 9/17＜n/(n+k)＜8/15 有唯一正整数解 k ，求 n 的最大值

luyuanhong

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

luyuanhong

195912

题:已知正整数n使不等式 9/17<n/(n+k)<8/15 有唯一正整数解 k ，求最大的 n 。
解:由
         9/17<n/(n+k)<8/15
   得
         (9×15×2)/(17×15×2)<n/(n+k)<(8×17×2)/(15×17×2)
   即
         270/510<n/(n+k)<272/510
   所以，有
         n+k=510,n=271,k=239.
显然,
     n=271,
符合题意。

luyuanhong

楼上的解答，没有注意到题目中所说 “n 使不等式有唯一的正整数解 k” 这一条件。

如果 n=271 ，这时有

9/17 < 271/(271+240) ＜ 271/(271+239) ＜ 271/(271+238) ＜ 8/15 。

可见，当 n=271 时， k=238 ，k=239 ，k=240 都是使不等式成立的解。

显然不符合  “n 使不等式有唯一的正整数解 k” 这一条件。

195912

题:已知正整数n使不等式 9/17<n/(n+k)<8/15 有唯一正整数解 k ，求最大的 n 。
解:由
         9/17<n/(n+k)<8/15
    得
          15/8<(n+k)/n<17/9
    即
           7/8<k/n<8/9
    由于
           (7×9×2)/(8×9×2)<k/n<(8×8×2)/(9×8×2)
    即
         126/144<k/n<128/144
    所以，有
     (1)，    k=127,n=143,
     (2)       k=127,n=144,
      (3)       k=127,n=145,
     是不等式的解。而
                k=127,n=145,
     符合题意。
      

195912

3楼的解答确实未经验算。

0-1110

5楼正确，2楼错在哪呢，没看出来

luyuanhong

第 5 楼中的解答仍然不对。

如果 n=145 ，这时有

9/17 < 145/(145+128) ＜ 145/(145+127) ＜ 8/15 。

可见，当 n=45 时， k=128 ，k=127 都是使不等式成立的解。

显然不符合  “n 使不等式有唯一的正整数解 k” 这一条件。

195912

题:已知正整数n使不等式 9/17<n/(n+k)<8/15 有唯一正整数解 k ，求最大的 n 。
证明:命题为伪命题。不失一般，设
            n=a,n+k=b
a,b为正整数，是符合题意的解,即
             9/17<a/b<8/15
由于
             8/15 - a/b=(8b - 15a)/(15b)>0
这样，便有
            9/17<a/b< {a/b+[(8b -15a)/(30b)]}<8/15
即
             9/17<a/b<[(8b+15a)/(30b)]<8/15
显然，有正整数c，d，使
              8b+15a=c,
               30b=d
即
              9/17<a/b<c/d<8/15
由于c>a，这与a是符合题意的最大整数解不兼容，所以命题为伪命题。