a 是除以 3 余 1 的正奇数，求证：x^2+x+1 为 f(x)=(x+1)^a-x^a-1 的因式

luyuanhong

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

luyuanhong

下面是网友 fungaiwai 过去在《数学中国》发表过的一个解答：

awei

多项式       二进制   十进制
   1       -----  1     =  1
    x       -----  10   =  2
x+1        ----- 11   =  3
x^2        ----- 100  = 4
x^2+1    ----- 101  = 5
x^2+x    ----- 110  = 6
x^2+x+1 -----111  = 7
(x+1)^a-x^a-1 （mod x^2+x+1）可转化为11^a-10^a-1（mod 111）的分析，
即3^a-2^a-1(mod7)，
因为a 是除以 3 余 1 的正奇数，a可以写成6n+1的形式，
所以3^a-2^a-1≡3^（6n+1)-2^(6n+1)-1  (mod7)   
［多项式模x^2+x+1的剩余类有7类，与模互质的多项式次幂的剩余类有6类，
指数6n+1表示6n+1个多项式相乘，可以直接参于多项式模的运算。］
由欧拉定理知，
      3^a-2^a-1≡3-2-1  (mod7)
      3^a-2^a-1≡0  (mod7)
故(x+1)^a-x^a-1≡0 （mod x^2+x+1）

luyuanhong

谢谢楼上 awei 的解答。我已将此帖转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。