上下两排都是甲、乙、丙、丁、戊的一种排列，前三个位置上下不能相同，有几种排列法？

luyuanhong · 发表于 2016-5-16 06:16

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

luyuanhong · 发表于 2016-5-16 10:16

本帖最后由 luyuanhong 于 2016-5-16 10:22 编辑

白新岭 · 发表于 2016-5-16 10:42

对于第一学期有P（5,5）=120种，针对任何一种5,4,3,2,1来说（把甲，乙，丙，丁，戊就看成5,4,3,2,1，当然不同的分配任务它们代表的并不同职务，我们把限制条件按5,4,3代替，不限制的职务用2,1代替），前三个有限制条件，我们分成这样三种情况：⑴限制条件内调换任务，5,4,3，连本身有6种方法，本身不符合条件，控制5（或4或3）位置不变，各有两种排列，即除了5,4,3，还有5,3,4；3,4,5； 4,5,3都不符合要求，只有在原来的排列基础上推磨子才符合要求，即4,3,5，(4往前一步）或者3,5,4，只有这两种方法，然后后边有原序2,1或者1,2，所以共有2*2=4；⑵有一个，后边的职务调到限制条件的职务上来，有两种方式（调换2或者1），往后调换有3种（5,4,3其中之一），这样前边的排列有一个不受限制，举例把2,4,3（即5,2调换了），那么2,3,4可以，（3,4,2不可以），3,2,4可以，（4,2,3不可以), 4,3,2可以，只有三种可以的，所以共有2*3*3=18种 ⑶两个不受限制的全部到了前面，后边的没有选择，只有2,1同时前移，前边可以从三个中选择其中两个后移，有C（3,2）=3，前边只有限制条件所在的位置是不可以的，例如1,2,3吧，除了本身还有2,1,3不可以，其他四种都可以，所以共有3*4*2（调换到后边的4,5有2种）=24种，有加法原理有：4+18+24=46种。
其他每一个前学期的职务安排方案都一样有46种，整学年有120*46=5520种任用方案。

白新岭 · 发表于 2016-5-16 17:23

本帖最后由白新岭于 2016-5-16 09:32 编辑

原序号 5位数 4位数 3位数 2位数 1位数 5位排序
3 1 2 4 3 5 12435
4 1 2 4 5 3 12453
5 1 2 5 3 4 12534
6 1 2 5 4 3 12543
7 1 3 2 4 5 13245
8 1 3 2 5 4 13254
19 1 5 2 3 4 15234
20 1 5 2 4 3 15243
27 2 1 4 3 5 21435
28 2 1 4 5 3 21453
29 2 1 5 3 4 21534
30 2 1 5 4 3 21543
31 2 3 1 4 5 23145
32 2 3 1 5 4 23154
43 2 5 1 3 4 25134
44 2 5 1 4 3 25143
49 3 1 2 4 5 31245
50 3 1 2 5 4 31254
55 3 2 1 4 5 32145
56 3 2 1 5 4 32154
73 4 1 2 3 5 41235
74 4 1 2 5 3 41253
79 4 2 1 3 5 42135
80 4 2 1 5 3 42153
当后边不受限制的2位都上了前边是24种安排方法，上边就是24种排列，都与5,4,3,2,1前边的5,4,3没有相同的安排，即第三种情况。

白新岭 · 发表于 2016-5-16 17:32

原序号 5位数 4位数 3位数 2位数 1位数 5位排序
71 3 5 4 1 2 35412
72 3 5 4 2 1 35421
89 4 3 5 1 2 43512
90 4 3 5 2 1 43521
当前边受限制的内部调换时，只有上边4种排列顺序，即第一种情况。

白新岭 · 发表于 2016-5-16 17:52

原序号 5位数 4位数 3位数 2位数 1位数 5位排序
9 1 3 4 2 5 13425
10 1 3 4 5 2 13452
11 1 3 5 2 4 13524
12 1 3 5 4 2 13542
23 1 5 4 2 3 15423
24 1 5 4 3 2 15432
51 3 1 4 2 5 31425
52 3 1 4 5 2 31452
53 3 1 5 2 4 31524
54 3 1 5 4 2 31542
67 3 5 1 2 4 35124
68 3 5 1 4 2 35142
77 4 1 5 2 3 41523
78 4 1 5 3 2 41532
85 4 3 1 2 5 43125
86 4 3 1 5 2 43152
91 4 5 1 2 3 45123
92 4 5 1 3 2 45132
这是第二种方案的18种（仅把数字1提到前边受限制条件的位置上），通过置换用2代替1，1变成2有获得相同的安排方案，上边是考虑用前边（5,4,3）之一调换到后边有3种，从后调换到前边有2种，调换后前边的安排有3种，可是我们忘记了后边的安排还有2种，这样是3*2*3*2（前后调换的方法相乘，再与前后安排相乘后相乘）=36种，综合这些帖子，我三楼的帖子安排方案数是错误的。再者，也没有求出最终结果来。

白新岭 · 发表于 2016-5-16 18:32

”容斥原理“，我通过网络看了一下，就是集合的元素个数问题：子集，交集，并集。它就像三个相互之间都有交叉的环，各自有不属于任何其他集合的元素，也有仅属于两个集合的元素，还有属于三个集合的元素，属于两个集合的元素，重叠两次，属于三个集合的重叠三次，所以三个集合的元素加在一起，就多加了两两重贴的一倍的数据，多加了两次三个集合的重叠元素个数，我们去掉重复计数的，两个集合的交集数，的同时，一共去了三次三个集合都拥有的元素个数，它一共重叠3次都去掉了，所以要加回1次。
如果是四个集合，两两有交集元素，三三也有交集，四个集合也有共同的元素，那么，它们的并集元素如何用已知单个集合的元素加上集合运算符号表示呢？

luyuanhong · 发表于 2016-5-17 06:51

本帖最后由 luyuanhong 于 2016-5-17 06:58 编辑

设上排已经排好，是 “54321” ，下排第一个不能是 “5” ，第二个不能是 “4” ，第三个不能是 “3” ，

用电脑可以将所有可能的情况列举如下：

( 1 )  12435
( 2 )  12453
( 3 )  12534
( 4 )  12543
( 5 )  13245
( 6 )  13254
( 7 )  13425
( 8 )  13452
( 9 )  13524
(10)  13542
(11)  15234
(12)  15243
(13)  15423
(14)  15432
(15)  21435
(16)  21453
(17)  21534
(18)  21543
(19)  23145
(20)  23154
(21)  23415
(22)  23451
(23)  23514
(24)  23541
(25)  25134
(26)  25143
(27)  25413
(28)  25431
(29)  31245
(30)  31254
(31)  31425
(32)  31452
(33)  31524
(34)  31542
(35)  32145
(36)  32154
(37)  32415
(38)  32451
(39)  32514
(40)  32541
(41)  35124
(42)  35142
(43)  35214
(44)  35241
(45)  35412
(46)  35421
(47)  41235
(48)  41253
(49)  41523
(50)  41532
(51)  42135
(52)  42153
(53)  42513
(54)  42531
(55)  43125
(56)  43152
(57)  43215
(58)  43251
(59)  43512
(60)  43521
(61)  45123
(62)  45132
(63)  45213
(64)  45231

luyuanhong · 发表于 2016-5-17 07:28

白新岭发表于 2016-5-16 18:32
”容斥原理“，我通过网络看了一下，就是集合的元素个数问题：子集，交集，并集。它就像三个相互之间都有交 ...

用 “容斥原理” 求 A,B,C,D 四个集合之并的元素个数，公式如下：

|A∪B∪C∪D|

=|A|+|B|+|C|+|D|-|AB|-|AC|-|AD|-|BC|-|BD|-|CD|+|ABC|+|ABD|+|ACD|+|BCD|-|ABCD| 。

白新岭 · 发表于 2016-5-17 09:59

请陆老师把“陆老师的《数学中国》园地”的登录名为：“白新岭”的密码发送到我的qq邮箱“542199350@qq。com”。好久不上网了，忘记了密码，也没有密保问题，所以无法找回。

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上下两排都是甲、乙、丙、丁、戊的一种排列，前三个位置上下不能相同，有几种排列法？

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