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飞矢不动悖论是芝诺提出来的四个关于运动不可分的哲学悖论中的一个.
芝诺问他的学生：“一支射出的箭是动的还是不动的？”
“那还用说，当然是动的。”
“确实是这样，在每个人的眼里它都是动的。可是，这支箭在每一个瞬间里都有它的位置吗？”
“有的，老师。”
“在这一瞬间里，它占据的空间和它的体积一样吗？”
“有确定的位置，又占据着和自身体积一样大小的空间。”
“那么，在这一瞬间里，这支箭是动的，还是不动的？”
“不动的，老师”
“这一瞬间是不动的，那么其他瞬间呢？”
“也是不动的，老师”
“所以，射出去的箭是不动的.”
以上就是飞矢不动传说中的原版.
飞矢不动悖论是说:一枝飞行中的箭在任何一个时刻里都会有一个确定的位置,所以在这个位置上,它是静止的,而它在所有的时刻里都是静止的,所以箭是不动的.
这个悖论与人们的常识观念严重违背,因此一提出来,便受到了无数哲学家的批判.
那么,芝诺的逻辑究竟错在了哪里了呢?
本文将通过一种简单的数学方法,最终揭开芝诺在这个推论中所出现的逻辑错误.
通过这种简单的数学方法,将会得知,芝诺的最终错误在于:芝诺说"一枝飞行中的箭在任何一个时刻里都有一个确定的位置,所以在这个位置上,箭是静止的",这种说法是错误的,而正确的说法应该是:飞行中的箭在任何一个位置上都不是静止的.
为了证明飞行中的箭在任何一个位置上都不是静止的,我将会设计一个非常简单的数学模型:
假设有一条线段AB,这条线段AB是欧氏几何定义下的一维线段,它是有长度,而没有宽度的.
再假设在线段AB的A点上有一只小虫Q,并且假设这只小虫Q是没有大小的,其长度为0,也就是相当于线段上的一个点.
当然,我们知道这样的长度为0的小虫在现实之中是绝对不会存在的,但为什么一定要做这样的假设呢?因为数学家为了研究诸如空间,位置等问题,往往将一些概念做理想化的处理,如欧氏几何中对于点的概念,是指其在空间中所处的位置,而其本身是没有大小的.
我们可以将那只小虫Q比喻是从线段的A点射向B点的箭,看看其中的过程究竟是什么样的.小虫Q在从线段AB的A点运动到B点的过程中,会经历线段AB的每一个点(位置),任何一个点(位置)都不会错过.那么,小虫Q在每一个点(位置)上停留的时间又是多少呢?
答案是:因为线段AB的每一个点都是没有大小的(长度为0),所以小虫Q在线段AB的任何一个点上停留的时间均为0.
为什么说小虫Q在线段AB的每一个点(位置)上停留的时间均为0,这是怎么计算出来的?其实这是无法计算的,只能用类推的方法得知.类推的方法如下:假设小虫Q走过一条长度为1的线段(从首端走到末端),所用的时间为1,则说小虫Q在这条线段上停留的时间为1(若时间大于1,则说小虫Q离开这条线段);若线段的长度为1/2,则小虫Q在线段上停留的时间为1/2;若线段的长度为1/8,则小虫Q在线段上停留的时间为1/8........由此类推,若线段的长度为0(相当于一个点),则小虫Q在这个点上停留的时间为0.
因为小虫Q在从线段AB的A点运动到B点的过程之中,在每一个点(位置)上停留的时间均为0,换一句话说就是:小虫Q在每一个点(位置)上都没有停留就离开了,也就是说小虫Q在每一个点(位置)上都不是静止的.
在这里还要做一个静止的定义:若小虫Q在某一个点(位置)上停留的时间大于0,则可以说在这个时间段里小虫Q在这个点(位置)上是静止的,例如对于时间t1--t2且t2>t1来说,在这个时间段里小虫Q在A点的位置上没有变化,则说小虫Q在这个时间段里在A点的位置是静止的.
由以上定义可知,由于小虫Q在从线段AB的A点运动到B点的过程中,在每一个点(位置)上停留的时间均为0,所以它在每一个位置上都不是静止的.
若将长度为0的小虫Q换成是有长度的箭,则结果同样如此:虽然飞行中的箭在任何一个时刻里都有一个确定的位置,占有和自身体积一样大小的空间,但它在这个位置上停留的时间为0,所以飞行中的箭在任何一个位置上都不是静止的.
所以芝诺说飞行中的箭在任何一个位置上都是静止的是错误的.除去了这个错误的前提,则飞矢不动悖论最终得以圆满解决.
[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 门外汉 在 时添加 -=-=-=-=-
原文补充:
芝诺说:飞行中的箭在任何一个时刻(瞬间)里都是静止的,在这其中,"时刻","瞬间"究竟是什么意思?是指在极短的时间内?还是指时间的长度为0?
为了消除这种由自由语言所带来的歧义,本文将会对时间的概念做一个精确的数学定义:
设S=t1--t2(注:这其中的("--"符号并不是减号,而是"到达"的意思),S是指某一个时间段,t1是指该时间段的初始时刻,t2是指该时间段的终结时刻.
那么便有两种情况:一种是S1=t1--t2,t2>t1,这个时间段可以是一个长度不为0的任意一个时间段,包括瞬间,甚至是时间的长度为无穷小的情况.
另一种是S2=t1--t2,t2=t1,这个时间段则是指一个长度为0的时间,特指某一个时刻,例如8:00这一个时刻.
之前的哲学家会用时间和空间究竟是不是可以无限分割的来论证"飞矢不动",那么接下来,我将会用这两个数学定义来论证:无论时间和空间是可以无限分割的,还是不可以无限分割的,箭在运动的过程中都不能存在静止的状态.因为S1和S2已经概括了时间是否可分的所有可能性.
先来看S1的情况:因为S1=t1--t2,并且t2>t1,所以小虫Q在这个时间段的初始时刻t1处会有一个确定的位置v1,而在这个时间段的终结时刻t2处也有一个确定的位置v2,v2与v1是不同的两个位置,说明小虫Q在S1的这个时间段里发生了位置的移动,所以小虫Q在S1这个时间段里的状态是运动的(不是静止的).
再来看S2的情况,因为S2=t1--t2,且t2=t1,小虫Q在这个时间段里只有一个确定的位置,但因为S2=0,也就是说小虫Q在这个位置上停留(静止)的时间为0,所以在S2这个时间里,小虫Q的状态也不是静止的.
终合以上所述,无论时间和空间是否无限可分,运动中的物体在任何一个时刻里都不能处于静止的状态.
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发表于 2010-10-14 21:33
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