随机产生服从正态分布的 n 个数，求这 n 个数按照从小到大顺序产生的概率

luyuanhong

这是网友 wgqxdh 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

先后随机产生服从正态分布的n个数，求其是从小到大的顺序出现的概率，

怎么求解

Ysu2008

模拟测试发现, 按从小到大顺序排列的概率与期望、方差都无关, 只与样本规模 n 有关.

(实验一)
每次模拟 5 个服从正态分布的数据, 模拟1千万次, 同时统计按次序出现的次数, 以下为均值不变,方差改变的实验结果:

均值 = 0.0, 方差 = 1.0, 样本规模 = 5, 试验总次数:10000000
按顺序排列出现次数:83169
频次 p = 0.0083169

均值 = 0.0, 方差 = 2.0, 样本规模 = 5, 试验总次数:10000000
按顺序排列出现次数:83975
频次 p = 0.0083975

均值 = 0.0, 方差 = 3.0, 样本规模 = 5, 试验总次数:10000000
按顺序排列出现次数:83345
频次 p = 0.0083345

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(实验二)
以下为均值方差均不变, 只改变样本规模的实验结果:

均值 = 0.0, 方差 = 3.0, 样本规模 = 2, 试验总次数:10000000
按顺序排列出现次数:5003015
频次 p = 0.5003015

均值 = 0.0, 方差 = 3.0, 样本规模 = 3, 试验总次数:10000000
按顺序排列出现次数:1666743
频次 p = 0.1666743

均值 = 0.0, 方差 = 3.0, 样本规模 = 4, 试验总次数:10000000
按顺序排列出现次数:417138
频次 p = 0.0417138

均值 = 0.0, 方差 = 3.0, 样本规模 = 5, 试验总次数:10000000
按顺序排列出现次数:83335
频次 p = 0.0083335

均值 = 0.0, 方差 = 3.0, 样本规模 = 6, 试验总次数:10000000
按顺序排列出现次数:13961
频次 p = 0.0013961

均值 = 0.0, 方差 = 3.0, 样本规模 = 7, 试验总次数:10000000
按顺序排列出现次数:1974
频次 p = 1.974E-4


样本规模n 与 频次 关系统计图

Ysu2008

精确表达式究竟是啥样?

Ysu2008

从实验数据上看应该是  p(n) = 1/n! , 怎么证明呢?

根据(实验二):

样本规模 n= 2
p = 0.5003015  ≈ 1/2!

样本规模 n= 3
p = 0.1666743 ≈ 1/6 = 1/3!

样本规模 n= 4
p = 0.0417138 ≈ 1/24 = 1/4!

样本规模 n= 5
p = 0.0083335 ≈ 1/120 = 1/5!

样本规模 n= 6
p = 0.0013961 ≈ 1/720 = 1/6!

样本规模 n= 7
p = 1.974E-4 ≈ 1/5040 = 1/7!

luyuanhong

谢谢楼上 Ysu2008 不怕辛苦，对此题作了大量很好的数值计算。

下面是我对此题的解答：

题  随机产生服从正态分布的 n 个数，求这 n 个数按照从小到大顺序产生的概率。

解  设随机产生 n 个数依次为 X1,X2,…,Xn 。

    将这 n 个数按照从小到大的次序排列，共有 n! 种不同的排列。

    由于对称性，得到这 n! 种排列中的每一种，概率都是相等的，都是 1/n! 。

    现在要求这 n 个数恰好按照产生的先后顺序从小到大排列，这种排列是 n! 种

随机排列中的一种，所以，得到这一结果的概率是 1/n! 。