密码由 1,3,5,7 四个数字组成，求（1）一次就猜对的概率（2）三次都未猜对的概率

luyuanhong

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

美美申辦提款卡時﹐依銀行規定須自訂四個阿拉伯數字排成一組密碼﹐

某天美美欲提款時發現她忘了正確密碼﹐

只記得是由1﹐3﹐5﹐7四個數字排成的﹐

(1) 她一次就猜對的機率是多少﹖

(2) 提款機設定當輸入的密碼錯誤達三次時﹐會沒收該提款卡﹒

美美嘗試輸入不同密碼﹐則她的提款卡會被沒收的機率是多少﹖

luyuanhong

题  密码由 1,3,5,7 四个数字组成，求（1）一次就猜对的概率；（2）三次都未猜对的概率。

解  1,3,5,7 四个数字共有 4！= 24 种不同的排列。

    猜一次只能输入其中 1 种排列，所以一次就猜对的概率为 1/24 。

    猜三次可以输入其中 3 种排列，所以猜三次至少一次猜对的概率为 3/24 = 1/8 。

    三次都未猜对的概率为 1 - 1/8 = 7/8 。

luyuanhong

    按照我的想法，这题可以这样来建立模型。

    设想有两个人：一个是设置密码的人，另一个是猜密码的人。

    因为四个数有 4!=24 种排列，所以共有 24 种可能的密码。

    先让猜密码的人来猜密码，他在 24 种密码中，猜了 3 种不同的密码。

    然后，让设置密码的人来设置一个正确的密码，他不知道另一个人猜的是哪 3 个密码，

所以他只能在 24 种密码中随机设置。

    所以，在这个模型中，样本空间共有 24 个样本点，每一个样本点代表一种密码。

    如果设置密码的人设置的密码，正好在另一个人猜的 3 种密码之中，密码就能被猜到。

可见，密码被猜到这一事件，包含了 3 个样本点。所以，密码被猜到的概率为

    P{密码在三次中被猜到}= 3/24 = 1/8 。

    如果设置密码的人设置的密码，不在另一个人猜的 3 种密码之中，而在其他 21 种密码之中，

密码就不会被猜到。可见，密码未被猜到这一事件，包含了 21 个样本点。所以，密码未被

猜到的概率为

    P{密码三次都未被猜到}= 21/24 = 7/8 。