我确信找到了费尔马所称的“绝妙”证法修改版

fmcjw

前言  

      关于费马大定理这个困扰了我们三百多年的数学难题，似乎已经被怀尔斯所证明，但其证明用到了费马时代还没有的数学理论！因此，无论其是否真的证明了这个定理，他的证法都不是费马所说的方法！至今究竟有没有初等方法的证明仍然未知。对于这个命题笔者确信找到了费尔马所称的“绝妙”证法。在这里笔者仅对n大于2等于奇数时的情况作出论证。

  证明

因为对此命题的证明已经归结为对奇素数的n进行证明了，这是当前数学界的共识，所以只要证明方程

x^n+y^n=z^n

在n=2k+1  时                                                                                                                               x^2k+1+y^2k+1=/=z^2k+1  （x,y,z均为正整数时）                                                                      (1)

就算是彻底证明了费尔马大定理（2k+1 包含了所有的奇素数）。由（1）可知，它表明当x,y,z均为正整数时，x^2k+1+y^2k+1不可能等于一个正整数z的2k+1次幂。为什么呢？找到了原因回答了这个问题也就证明了此命题。下面我们就来回答以上问题：

一：当n=3时，假设x^3+y^3=z^3,那么说明x^3+y^3是一个正整数的3次幂，若有方法判断x^3+y^3不可能是一个完全立方数，则证明假设错误，即

x^3+y^3=/=z^3.

为什么n=3时一定是x^3+y^3=/=z^3呢？因为

   x^3+y^3=（x+y)^3_3xy(x+y)=(x+y)(x^2+y^2_xy)                                          (2)由（2）可知，

(x^2+y^2_xy)=/=（x+y)^2，

则

(x+y)(x^2+y^2_xy)就不可能是一个完全立方数，即x^3+y^3不可能是一个完全立方数，若x^3+y^3=z^3，则z必定是无理数，若z为正整数则只能有不等式x^3+y^3=/=z^3（x,y,z均为正整数时）

存在。

所以当n=3时，方程x^3+y^3=z^3没有正整数解。

二：n=5时，若z^5=x^5+y^5,则说明x^5+y^5是一个正整数的5次幂，但：                        

   x^5+y^5=(x+y)(x^4+y^4_x^3y_xy^3+x^2y^2)                                             (3)

   (3)式中(x^4+y^4_x^3y_xy^3+x^2y^2)  不可能等于(x+y)^4,那么(x+y)(x^4+y^4_x^3y_xy^3+x^2y^2)  就不可能是一个正整数的5次幂，所以z必定是无理数，若z是正整数则

z^5=/=x^5+y^5                       (x,y,z均为正整数时）.

三：n=7,有：                        

x^7+y^7=(x+y))(x^6+y^6_x^5y_xy^5+x^4y^2+x^2y^4_x^3y^3)                   (4)

同理，由 (4)可知，z必定是无理数，若z是正整数则z^7=/=x^7+y^7.

四：n=9时有：                        

x^9+y^9=(x+y)(x^8+y^8_x^7y_xy^7+x^6y^2+x^2y^6_x^5y^3_x^3y^5+x^4y^4)                 (5)                                

同理，由 (5)可知，z必定是无理数，若z是正整数则z^9=/=x^9+y^9.。。。

k：n=2k+1时有：

x^2k+1+y^2k+1=(x+y)(x^2k+y^2k_x^2k-1y_xy^2k-1+x^2k-2y^2+x^2y^2k-2_x^2k-3y^3_x^3y^2k-3+...-......x^ky^k)           (k+1)                                                               

由(k+1)式可知，x^2k+1+y^2k+1不可能是一个正整数的2k+1次幂，所以z必定是无理数，若z是正整数则必有                           

x^2k+1+y^2k+1=/=z^2k+1     （x,y,z均为正整数时） (a)

                                                                                    

    (a)就是我们得到的最终结论。由此式可推出                           

  x^4k+2+y^4k+2=/=z^4k+2     （x,y,z均为正整数时） (b)

则我们就证明了n>2=2k+1,4k+2 的情况下费马大定理成立。还有n=4k时没有证明，若证明n=4时x^4+y^4=/=z^4,则等于就证明了n=4k时的情况。                                                                    

                                          后记

也许人们会提出由此法能证明n=2,n=4这两种情况吗？答案是肯定的。比如n=2时有：                              

z^2=x^2+y^2=(x+y)^2_2xy                                                                         (A)

则由(A)可得：                             

z^2+2xy=(x+y)^2                                                                                         (A)’

      如果(A)’式成立，那么只有在z^2=x^2+y^2时才行，z^2=x^2+y^2就说明x^2+y^2是可以等于一个完全平方数的。那么x^2+y^2究竟可不可能是一个正整数的二次幂呢？现用另一方法再证明如下：

设c    令x-c=a,y-c=b,(a,b,c均为正整数）则x=c+a,y=c+b，代入(A)得                                 

(c+a)^2+(c+b)^2=c^2+2ca+a^2+c^2+2cb+b^2

                            =c^2+2c(a+b+a^2+b^2+c^2

                            =c^2+2c(a+b)+(a+b)^2-2ab+c^2

                            =[(a+b)+c]^2+c^2-2ab

显然当c^2-2ab=0 有：                                    

(c+a)^2+(c+b)^2=[(a+b)+c]^2                                                             (A)''

因此将c=(2ab)^1/2代入(A)''得:

[a+(2ab)^1/2]^2+[b+(2ab)^1/2]^2=[(a+b)+(2ab)^1/2]^2                  (A)'''

当 2ab为平方数时(2ab)^1/2就是正整数，由式 (A)''' 可知 x^2+y^2的确可以等于一个完全平方数。

对于n=4，笔者不知费马是怎么证明的，但用以上同样的方法也是完全可以证明的。例如：  n=4时有：                           

   z^4=x^4+y^4=(x+y)^4_4x^3y_6x^2y^2_4xy^3

                           =(x+y)^4_4xy(x^2+y^2)_6x^2y^2              

                           =(x+y)^4_4xy(x+y)^2+8x^2y^2_6x^2y^2

                           =(x+y)^2[(x+y)^2_4xy]+2x^2y^2

                           =(x+y)^2(x_y)^2+2x^2y^2即                                                                                      

z^4=(x^2_y^2)^2+2x^2y^2                                                                          (B)

   将(B)式等号两边同除以x^2y^2得                                

(z^2/xy)^2=[(x^2_y^2)/xy]^2+2                                                                   (B)'

由式(B)'可知，它表示一个平方数等于另一个平方数与2的和，这在非零自然数中显然是不可能的，很易证明是不成立的。所以有     

(z^2/xy)^2=/=[(x^2_y^2)/xy]^2+2         （x,y,z均为非零自然数）                 (B)''

由不等式(B)''就证明(B)式不可能成立，除非z是无理数。因此，当x,y,z均为非零自然数时        

z^4=/=(x^2_y^2)^2+2x^2y^2

      =/=x^4+y^4                                                                                                   (B)''

'由式 (B)'''自然可推出                                 

z^4k=/=x^4k+y^4k                                                                                              (C)

     至此，由不等式(a)，(b)，(C)可知，方程 x^n+y^n=z^n在n=4k ,4k+2 ,2k+1时均没有正整数解。而4k ,4k+2 ,2k+1包含了所有大于2的正整数，所以费尔马大定理得证成立。

根据以上证法可知，费马大定理的证明，关键就在于判断方程 x^n+y^n=z^n中的x^n+y^n在n为大于2的自然数时是否可能为一个自然数的n次幂。找到了否定的答案当然就证明了这个命题。

仅从方程 x^n+y^n=z^n就可知，它本身就表示无论n取何值，两个完全n次方数的和等于一个完全n次方数。因此本文仅利用二项式定理就对x^n+y^n在n为大于2的自然数时是否可能为一个自然数的n次幂作出了否定的判断，从而证明了这个命题。

                                                  讨论

由x^2k+1+y^2k+1=(x+y)(x^2k+y^2k_x^2k-1y_xy^2k-1+x^2k-2y^2+x^2y^2k-2_x^2k-3y^3_x^3y^2k-3+...-......x^ky^k)                            (k+1)

为何会得出

z^2k+1=/=x^2k+1+y^2k+1

呢？

因为z^2k+1=x^2k+1+y^2k+1时，x+y>z，令x+y-z=r,则z=x+y-r,所以

z^2k+1==(x+y-r)^2k+1==(x+y-r）(x+y-r)^2k

而

(x+y-r）(x+y-r)^2k=/=(x+y)(x^2k+y^2k_x^2k-1y_xy^2k-1+x^2k-2y^2+x^2y^2k-2_x^2k-3y^3_x^3y^2k-3+...-......x^ky^k)

所以

z^2k+1==(x+y-r）(x+y-r)^2k=/=(x+y)(x^2k+y^2k_x^2k-1y_xy^2k-1+x^2k-2y^2+x^2y^2k-2_x^2k-3y^3_x^3y^2k-3+...-......x^ky^k)

即

z^2k+1=/=x^2k+1+y^2k+1

至此，费尔马大定理得证成立。





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奇数的世界

够执着的哈。不过还有问题啊。
(x+y)(x^2+y^2_xy) ， (x^2+y^2_xy)=/=（x+y)^2的确。
但是设一整数为a,     (x+y)=a^4, (x^2+y^2_xy)=a^5,
那么有(x+y)(x^2+y^2_xy) =a^4a^5=a^9=(a^3)^3
这种情况如何排除？

fmcjw

但是设一整数为a,     (x+y)=a^4, (x^2+y^2_xy)=a^5,那么有(x+y)(x^2+y^2_xy) =a^4a^5=a^9=(a^3)^3
这种情况如何排除？
答：
(x+y)=a^4时，(x^2+y^2_xy)=/=a^5！那么就没有(x+y)(x^2+y^2_xy) =a^4a^5=a^9=(a^3)^3存在。
这种情况不存在如何排除？
比如：设一整数为a，a=2,(x+y)=a^4=2^4=16,而(x^2+y^2_xy)=32,将x=16-y代入得：
x^2+y^2_xy=(16-y)^2+y^2-(16-y)y
                  =16^2-32y+y^2-16y+y^2
                  =2y^2+256-48y=32=a^5
所以
        2y^2+224-48y=0
即
y^2-24y+112=0
解得y=无理数。

fmcjw

设一整数为a,     (x+y)=a^4, (x^2+y^2_xy)=a^5,那么有(x+y)(x^2+y^2_xy) =a^4a^5=a^9=(a^3)^3
这种情况如何排除？

当(x+y)=a^4时，x=a^4-y代入(x^2+y^2_xy)得
x^2+y^2_xy=(a^4-y)^2+y^2-(a^4-y)y
                  =a^8-2ya^4+y^2+y^2-ya^4+y^2
                  =a^4【a^4-3y】+3y^2
                =/=a^5
所以没有(x+y)(x^2+y^2_xy) =a^4a^5=a^9=(a^3)^3存在。

fmcjw

设一整数为a,     (x+y)=a^4, (x^2+y^2_xy)=a^5,那么有(x+y)(x^2+y^2_xy) =a^4a^5=a^9=(a^3)^3
这种情况如何排除？
再答奇数的世界先生：
若(x+y)(x^2+y^2_xy) =a^4a^5=a^9=(a^3)^3，则a^9=(a^3)(a^3)^2=aa^8,那么当将aa^8中的a由x,yl来表示时就不是先生所想象的那样了。
因(x+y)=a^4，所以a=(x+y)^1/4,则
(x+y)(x^2+y^2_xy) =a^4a^5
                             =a^9=aa^8
                             =(x+y)^1/4[(x+y)^1/4]^8
                             =(x+y)^1/4(x+y)^2
                             =/=z^3
不知这样是否排除了你所说的情况。

奇数的世界

fmcjw 发表于 2016-6-6 04:27
设一整数为a,     (x+y)=a^4, (x^2+y^2_xy)=a^5,那么有(x+y)(x^2+y^2_xy) =a^4a^5=a^9=(a^3)^3
这种情况如 ...

首先你的回复中的所有解释都必须加在你的证明中，这才不会让人产生疑问。而且你的这些证明并不完整，
我只是举了一种情况，可以说还有无穷多种情况。比如对于n=3,设一整数为a,     (x+y)=a^5, (x^2+y^2_xy)=a^7,那么有(x+y)(x^2+y^2_xy) =a^5a^7=a^12=(a^4)^3,
比如还有设整数为a和b,     (x+y)=a^5b, (x^2+y^2_xy)=a^7b^2,那么有(x+y)(x^2+y^2_xy) =a^5a^7=a^12b^3=(a^4b)^3。你又怎样一个个排除完呢？
这只是n=3，还有n=7,n=9。。。等等种情况啊。全部都要排除，你的证明就太长了。
所以我建议你在你的这个基础上另辟蹊径。

奇数的世界

在你的证明中有“ x^3+y^3=（x+y)^3_3xy(x+y)=(x+y)(x^2+y^2_xy)                                          (2)由（2）可知，

(x^2+y^2_xy)=/=（x+y)^2，

则(x+y)(x^2+y^2_xy)就不可能是一个完全立方数。“
这句话必须要改，因为(x^2+y^2_xy)=/=（x+y)^2，来判定(x+y)(x^2+y^2_xy)就不可能是一个完全立方数，单这个原因是讲不通的。因为我上面已经给出反例了。即：设一整数为a,     (x+y)=a^5, (x^2+y^2_xy)=a^7,其中(x^2+y^2_xy)=/=（x+y)^2，但(x+y)(x^2+y^2_xy)也可能为一个完全立方数

fmcjw

奇数的世界 发表于 2016-6-6 10:25
首先你的回复中的所有解释都必须加在你的证明中，这才不会让人产生疑问。而且你的这些证明并不完整，
我 ...

首先你的回复中的所有解释都必须加在你的证明中，这才不会让人产生疑问。而且你的这些证明并不完整，
我只是举了一种情况，可以说还有无穷多种情况。比如对于n=3,设一整数为a,     (x+y)=a^5, (x^2+y^2_xy)=a^7,那么有(x+y)(x^2+y^2_xy) =a^5a^7=a^12=(a^4)^3,
比如还有设整数为a和b,     (x+y)=a^5b, (x^2+y^2_xy)=a^7b^2,那么有(x+y)(x^2+y^2_xy) =a^5a^7=a^12b^3=(a^4b)^3。你又怎样一个个排除完呢？
这只是n=3，还有n=7,n=9。。。等等种情况啊。全部都要排除，你的证明就太长了。
所以我建议你在你的这个基础上另辟蹊径。

首先谢谢先生的建议！
你所说情况的确有无穷多种，但它们都在本文中被一个个排除完了啊。先生所谓的情况其实就是费马方程的假设啊！比如就以先生所谓的一个反例为例：
(x+y)(x^2+y^2_xy) =a^5a^7=a^12b^3=(a^4b)^3
来看，令a^4b=z,则(a^4b)^3=z^3.所以
(x+y)(x^2+y^2_xy) =(a^4b)^3=z^3
是不是？已经证明
z^3=/=(x+y)(x^2+y^2_xy)
就已经排除了你所说的所有情况是吧。

奇数的世界

“(x+y)(x^2+y^2_xy) =(a^4b)^3=z^3
是不是？已经证明
z^3=/=(x+y)(x^2+y^2_xy)”

(x+y)(x^2+y^2_xy) =(a^4b)^3=z^3 又已经证明z^3=/=(x+y)(x^2+y^2_xy)，这到底是什么意思？这句话看下来怎么是矛盾的？

奇数的世界

“你所说情况的确有无穷多种，但它们都在本文中被一个个排除完了啊。”
在你1楼中的正文都被你排除完了吗？我怎么没有看到。