计算洗衣服时，脸盆的高度上升的速度

qingyun

上学时，经常要自己洗衣服，一般都是用那种圆台形状的塑料盆，就是圆锥体截掉一部分；每次洗衣服的时候，就会想，水面上升速度肯定是越来越慢的，但是就是不知道具体规律；
所以刚才简单演算了一下，发现最终需要解微分方程： y'=1/y^2 ; 一下子居然想不到如何解了；当年上学的时候，最感兴趣的就是解微分方程；


我们可以简单一点，假设塑料盆就是一个圆锥体，(圆锥体计算明白了，圆台自然就清楚了，只是减去盆底虚拟出来的那个小圆锥高度)

圆锥体的高度为H，口子半径为R； 自来水龙头的流速为V；

那么 ：  自来水 瞬间流下的流量 = V*dt
            圆锥瞬间增加的体积  =  pi *r^2 dh  ;   其中 r 为当前水面的半径   ；  h为当前水面在圆锥里的高度  ； 那么  r /h =R/H  ，也就是 r= h*R/H
          所以：
             圆锥瞬间增加的体积  =  pi *r^2 dh  = pi *(h*R/H)^2 dh  




   根据  自来水 瞬间流下的流量 =     圆锥瞬间增加的体积  
   得到：
               V*dt = pi*(h*R/H)^2 dh  


   所以， 水面上升的速度：    dh/dt=  V*H^2/(pi*R^2)  * (1/h^2);
     我们为了摸清楚规律，简化一下，那些定量不影响分析规律，所以就假设这些定量乘乘除除后变成1,；
           
       也就是   dh/dt= 1/h^2;
       为也符合我们的习惯， 把h换成y, t换成x ; 那么 上面就是：  y'= 1/y^2;


   所以水面虽然在不断上升，但是上升的速度越来越慢，某个时刻的上升速度 和 当前高度的平方成反比；

    但是 既然得到 y'= 1/y^2 ， 那么y到底是个什么函数呢  ,三角函数，指数，幂函数；等等；
   
   说白了，就是 对 y'= 1/y^2 进行解微分方程；


    有兴趣的朋友帮忙把这个微分方程接一下，最好简单写一下过程，看看到底是什么鬼；
  

luyucheng1

y^2dy=dx
(1/3)y^3=x+c

qingyun

luyucheng1 发表于 2016-6-7 11:39
y^2dy=dx
(1/3)y^3=x+c

多谢啦，这么简单；惭愧了；

xfhaoym

用微积分就可导出来。