非标准分析中的“转换公理”

luyuanhong

elimqiu

能不能转换数学归纳法？[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 elimqiu 在 时添加 -=-=-=-=-
还有标准实数域的阿基米德性质，能转换吗？

luyuanhong

下面引用由elimqiu在 2010/10/17 02:13pm 发表的内容：
能不能转换数学归纳法？-=-=-=-=- 以下内容由 elimqiu 在  时添加 -=-=-=-=-
还有标准实数域的阿基米德性质，能转换吗？

可以转换数学归纳法。
阿基米德性质也可以转换，见我上面帖子中的例 2 。

elimqiu

N 于 2N = {2,4,6,…} 等势能不能转换？

awei

[这个贴子最后由awei在 2010/10/17 10:01pm 第 2 次编辑]

[color=#0000FF]还是像个钟表，指针从0点开始又转回到12点，光头Ω还是个0，呵呵！生活中的钟表不是时间，钟表是只计量时间的工具，而自然数也只是计量集合元素个数的工具。
   有限长的直尺是直尺，而无限长直尺可能也是个圆尺（圆形的尺子），尺子是怎么量出比尺子长的距离？谁又能在尺子上边找到大于尺子的刻度呢？超自然数存不存在？超自然数的研究有没有现实？以前我看过的书里讲牛顿把Δt“镇压”为0，（或许记错），为什么自然数里不能把所谓的超自然数“镇压”掉，给自然数找出上限。绕来绕去，换药不换汤，还是太像数学，不大胆缺乏想象力，呵呵！

luyuanhong

下面引用由elimqiu在 2010/10/17 02:37pm 发表的内容：
N 于 2N = {2,4,6,…} 等势能不能转换？

能够转换，见我上面第 1 楼帖子中的例 4 。

elimqiu

看来转换从有序数域水平的算术的层次推广到基数的序关系上会有困难。

elimqiu

令 S = { x | x 是超自然数，且 Ω-x 是无穷大自然数}
由此可以证明 S 是非空归纳集。但 S 不包含所有超自然数或者 Ω 不属于 S
这表明超归纳法有问题。

elimqiu

下面引用由elimqiu在 2010/10/17 06:00pm 发表的内容：
令 S = { x | x 是超自然数，且 Ω-x 是无穷大自然数}
由此可以证明 S 是非空归纳集。但 S 不包含所有超自然数或者 Ω 不属于 S
这表明超归纳法有问题。

我们来证明一下在超自然数系统里超归纳法不成立。
令S 如上贴。 那么 1 ∈ S, 如果 n ∈ S, 那么 Ω- n 是无穷大自然数，故 Ω- （n+1）也是无穷大自然数，所以 n+1 ∈ S。 如果超归纳法成立，那么  S 就应该含有一切超自然数。但是 Ω-Ω = 0 所以 Ω 不在 S 中。这表明整个超自然数的构造不能满足超自然数公理。或者说超自然数公理不是自洽的。
其实从抽象代数容易知道，满足peano公理的系统是同构的。它们必有相等的基数。
[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 elimqiu 在 时添加 -=-=-=-=-
这个反例好像顺便也否定了 awei 的具有最大自然数的自然数公理系统的自洽性。

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2010/10/18 11:42am 第 1 次编辑]

下面引用由elimqiu在 2010/10/17 06:00pm 发表的内容：
令 S = { x | x 是超自然数，且 Ω-x 是无穷大自然数}
由此可以证明 S 是非空归纳集。但 S 不包含所有超自然数或者 Ω 不属于 S
这表明超归纳法有问题。