勾股数增元定a直求公式，勾股数再生公式，是勾股数研究的突破性发现

zy1818sd

       勾股数增元定a直求公式，勾股数再生公式，是勾股数性质研究中一个突破性的发现，她使中国人在勾股数理论实践中再次走在了世界前列。两个新公式由庄严庄宏飞得到，首次在2005年参加首届全国民间科技发展研讨会交流，并于2007年参加辽宁省自然科学奖评审并通过辽宁省自然科学奖专家组答辨。
       对勾股数的计算方法，中外数学家先后给出了几十个各具特色的计算公式，但这些公式没有一个能一个不漏地求出全部勾股数。而且这些公式中a、b、c的条件大多都得单独运算。而增元定a法直接给定a值，由a的分解条件通过Q值变化得到b，再由b值得到c，把对勾股数的计算从传统的三元未知条件改变为一元给定条件，把三元二次不定方程整数根的求算过程变成了直接的算术运算。增元定a直求公式是目前唯一能够只用整数条件、用一个a值就能一个不漏的计算求出全部勾股数的实用公式。这种方法通过对Q值的因数构成条件研判，还可直接知道在求得的同a勾股数中，哪些是互素勾股数，哪些是不互素勾股数以及怎样求得c-b同差勾股数。增元定a直求公式将成为实求勾股数最直观、最简单、最高效的理论方法。
勾股数再生公式得到了一个全体勾股数都具有的普遍特性，让人们看到了勾股数a、b、c间存在的内在联系，看到了b=a同差、同互素、同因数勾股数的存在条件。勾股数再生公式使连续求得互素勾股数的运算简单得无以形容。
       勾股数增元定a直求公式，勾股数再生公式的出现，从定a直求、b-a同差、c-b同差、同互素、同因数等诸多性质方面丰富了勾股数理论、将大大加深人们对勾股定理性质的了解和认知。
  
公式1.  勾股数增元定a直求公式，（勾股数通解公式）
在以下a、b、c、Q关系中，当取定a值后，如Q值使b=(a^2-Q^2)÷2Q是整数，则a、b、c必是勾股数；且由a^2标准分解因数全排列重组条件得到的不大于a的全部Q值可求得含a全部勾股数；
``````````a≥ 3、4、5 …
````````{  b=（a^2-Q^2）÷2Q
``````````c= b+Q
这里，使上式中(a^2-Q^2)÷2Q的值恒为整数的Q值条件是：
若a为≥3的奇数，在a^2的标准分解因数（包括1）全排列重组乘积中，取小于a的因数积为Q。
若a为≥4的偶数，在a^2的标准分解因数（包括1）中去掉一个2后为有效因数，在有效因数全排列重组乘积中，取小于a的偶数因数积为Q。

实例．计算a=60时全部勾股数？
解：根据公式1，由Q的取值方法分解a^2得到：60^2=1^2×2^4×3^2×5^2，去掉一个2后有效因数为1^2×2^3×3^2×5^2，取这些因数重组不大于60的偶数积为Q，所以有Q=2，Q=2^2=4，Q=2×3=6，Q=2^3=8，Q=2×5=10，Q=2^2×3=12，Q=2×3^2=18，Q=2^2×5=20，Q=2^3×3=24，Q=2×3×5=30，Q=2^2×3^2=36，Q=2^3×5=40，Q=2×5^2=50；
利用b=（a^2-Q^2）÷2Q；及c= b+ Q关系计算得到：
b=（60^2-2^2）÷(2×2)=899；   c= 899+ 2；      所以有：60^2+899^2=901^2
b=（60^2-4^2）÷(2×4)=448；   c= 448+ 4；      所以有：60^2+448^2=452^2
b=（60^2-6^2）÷(2×6)=297；   c= 297+ 6 ；     所以有：60^2+297^2=303^2
b=（60^2-8^2）÷(2×8)=221；   c= 221+ 8 ；     所以有：60^2+221^2=229^2
b=（60^2-10^2）÷(2×10)=175；c= 175+ 10；   所以有：60^2+175^2=185^2
b=（60^2-12^2）÷(2×12)=144；c= 144+ 12；   所以有：60^2+144^2=156^2
b=（60^2-18^2）÷(2×18)=91； c= 91+ 18 ；    所以有：60^2+91^2=109^2
b=（60^2-20^2）÷(2×20)=80； c= 80+ 20；     所以有：60^2+80^2=100^2
b=（60^2-24^2）÷(2×24)=63； c= 63+ 24 ；    所以有：60^2+63^2=87^2
b=（60^2-30^2）÷(2×30)=45； c= 45+ 30 ；    所以有：60^2+45^2=75^2
b=（60^2-36^2）÷(2×36)=32； c= 32+36 ；     所以有：60^2+32^2=68^2
b=（60^2-40^2）÷(2×40)=25； c= 25+ 40 ；    所以有：60^2+25^2=65^2
b=（60^2-50^2）÷(2×50)=11； c= 11+ 50 ；    所以有：60^2+11^2=61^2
  
       由60的有效因数为1^2×2^3×3^2×5^2条件可知，当Q=2，Q=2^3=8，Q=2×3^2=18，Q=2×5^2=50时，将得到a为60的互素勾股数。
       增元定a计算法则，当取a=3、4、5、6、7 … 时，通过满足Q为整数的不同取值，将一个不漏地求出全部平方整数解。

公式2.   勾股数再生公式；
如（a，b，c）是勾股数，满足a^2+b^2=c^2关系，如有：
````A=2(a+c)+b
``{  B=2(b+c)+a
````C=2(a+b)+3c
则这时的（A，B，C）也勾股数，必满足A^2+B^2=C^2关系；且此时的（a，b，c）（A，B，C）具有b-a与B-A同差特性，具有相同的互素与不互素特性及同因数性质；

实例. 已知勾股数（3，4，5）；（5，12，13）；利用勾股数再生公式求出新的勾股数？
由（3，4，5）是勾股数，满足3^2+4^2=5^2关系，
````a=3
即｛ b=4
````c=5

``````A=2a+2c+b=20
得到｛ B=2b+2c+a=21
``````C=2a+2b+3c=29
所以数组（20，21，29）是勾股数，满足20^2+21^2=29^2关系；因（3，4，5）是互素勾股数，所以（20，21，29）也是互素勾股数，且有4-3与21-20同差；

由（5，12，13）是勾股数，满足5^2+12^2=13^2关系，
````a=5
即｛ b=12
````c=13

``````A=2a+2c+b=48
得到｛ B=2b+2c+a=55
``````C=2a+2b+3c=73
所以数组（48，55，73）是勾股数；满足48^2+55^2=73^2关系；因（5，12，13）是互素勾股数，所以（48，55，73）也是互素勾股数，且有12-5与55-48同差；


感兴趣者可向庄严发件索要证明原文，zy1818sd@sina.com

朱明君

zy1818sd

感谢明君的关注和细心，看来我们的祖先也发现了勾股数a、b、c间的关联性质，只是没有更严格的总结证明成为一个公式罢了。这再次证明中华先祖们卓越的数学智慧。
这里向明君致敬，向先祖致敬。

zy1818sd

实践勾股数最简单实用的新方法。

朱明君

zy1818sd 发表于 2016-6-22 09:37
实践勾股数最简单实用的新方法。

zy1818sd

增元定a直求法是其它方法无法超越的，第一，她直结给出a值，且只用a的条件求b，再由b求出c，实现了理论突破，第二，她能一个不漏地求出含a勾股数，第三，她是与前人不同理念的新角度。