梅森素数有无穷多的计算公式与预测

万和永

梅森素数有无穷多的计算公式与预测

数学专家认为，到目前为止，人们一共找到48个梅森素数。已经发现的这些梅森素数，布极不规则。可是，我认为：梅森素数不仅有无穷多，而且N以下的梅森素数是可以计算和预测的。
梅森素数是用2^P-1表示的。也是梅森数的表示方法。只有当2^P-1是素数时才是梅森素数。
由于素数P的分布规律性较差，我们将2的指数用N来表示。
为此，我们把2^N-1称为广义梅森数。
我们把广义梅森数的指数作为计算区间。这样可以让计算区间更有规律。
我们知道，我们所有人的老师欧拉发现了素数连乘积，这是一个非常有用的发现。用它来划分区间，再进行梅森素数的计算就简单多了。
我们将素数连乘积按从小到大的顺序列出：
2；6；30;210;2310;30030;510510;9699690;…….
我们会发现：
N=2时，2以下有一个梅森素数；
N=6时，6以下有三个梅森素数；
N=30时，30以下有七个梅森素数；
N=210时，210以下有十二个梅森素数；
N=2310时，2310以下有十七个梅森素数；
N=30030时，30030以下有26个梅森素数；
N=510510时，510510以下有32个梅森素数；
N=9699690时，9699690以下有38个梅森素数；
N=2.23亿时，2.23亿以下已经发现49个梅森素数；
很显然，随着N的增大，梅森素数个数逐渐增多。
梅森素数的实际值是不能用公式来表示的，但是它的下界值是可以的。
设(1)素数连乘积为∏(P（n）) ,（n）为下标（下同）
(2)设区间上界N为2^∏(P（n）)
（3 ）设区间上界N以下梅森素数个数的实际值为∏（2^∏(P（n）)）
(4)这时， N以下梅森素数个数的下界值为∑（n）
公式：2^∏（∏(P（n）)）≥∑（n）
需要证明的定理:   当广义梅森数的指数为素数连乘积时，小于该广义梅森数的梅森素数个数多于素数连乘积中素数个数n的总和。
用这个公式或未经证明的定理预测，第一万个梅森素数如果写在一个纸条上，那么，这个纸条长度将超过10的300次方光年。
由于至今为止只发现了49个梅森素数，有38个梅森素数的指数小于八个素数连乘积。我们不妨把它们一一列出：
当广义梅森数的指数为2时，2^(2)-1以下有一个梅森素数2^(2)-1=3；下界误差为0；
当广义梅森数的指数为6时，2^(6)-1以下有三个梅森素数；新增2^(3)-1=7；2^(5)-1=31；下界误差为0；

当广义梅森数的指数N=30时，N以下有七个梅森素数；新增2^(7)-1；2^(13)-1；2^(17)-1；2^(19)-1=；下界梅森素数个数为6；下界误差为1；
当广义梅森数的指数N=210时，N以下有十二个梅森素数；新增2^(31)-1；2^(61)-1；2^(89)-1；2^(107)-1；2^(127)-1；下界梅森素数个数为10；下界误差为2；
当广义梅森数的指数N=2310时，N以下有十七个梅森素数；新增2^(521)-1；2^(607)-1； 2^(1279)-1；2^(2203)-1；2^(2281)-1；下界梅森素数个数为15；下界误差为2；
当广义梅森数的指数N=30030时，N以下有26个梅森素数；新增2^(3217)-1；2^(4253)-1； 2^(4423)-1；2^(9689)-1；2^(9941)-1；2^(11213)-1；2^(19937)-1；2^(21701)-1； 2^(23209)-1)；下界梅森素数个数为21个；下界误差为5；
当广义梅森数的指数N=510510时，N以下有31个梅森素数；新增2^(44497)-1；2^(86243)-1； 2^(110503)-1；2^(132049)-1；2^(216091)-1；下界梅森素数个数为28个；下界误差为3；
当广义梅森素数的指数N=9699690时，N以下有38个梅森素数；新增 2^(756839)-1；2^(859433)-1；2^(1257787)-1；2^(1398269)-1；2^(2976221)-1；2^(3021377)-1； 2^(6972593)-1)；下界梅森素数个数为36个；下界误差为2；
当广义梅森素数的指数N=2.23亿时，N以下已经有49个梅森素数；下界梅森素数个数为45个；下界误差为4；当然N以下不仅只有49个梅森素数，可能还要增加两个。
我们用下面的表格计算一下误差：
区间N        实际数        下界数        误差        误差率
2                       1        1.00            0.00         0.00
6                       3        3.00                  0.00            0.00
30                       7        6.00                -1.00           -14.29
210                     12        10.00         -2.00           -16.67
2,310                  17        15.00         -2.00          -11.76
30,030                 26        21.00         -5.00          -19.23
510,510               31        28.00         -3.00          -9.68
9,699,690              38        36.00         -2.00          -5.26

很显然，计算结果的误差和误差率都在可控制范围内。

由于本人才疏学浅，公式和定理的证明，只能由后来者去证明了。

柳林

素数连乘积是个好东西。