关于哥德尔不完全性定理证明的有效性问题 ——与汪芳庭教授商榷

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关于哥德尔不完全性定理证明的有效性问题
——与汪芳庭教授商榷
杨六省
王浩在《哥德尔》一书第126页写道：“时至今日，好像还没有人用与哥德尔原证法本质上不同的更为简单的方法证明过哥德尔定理吧。”
我们这里不讨论哥德尔不完全性定理是否成立的问题。对于任何版本的证明，下面的质疑都是有效的，这就是：基本原理是科学研究的伟大指南。据此，一个合理的质疑是：不管A是什么，也不管所给条件是否矛盾，在推理务必有效（不得出现歧义谬误，不得违反矛盾律，等等）的情况下，由A推出¬ A是可能的吗？如果是可能的，这岂不与同一律和矛盾律相冲突吗？难道有效推理的概念可以与形式逻辑的基本规律不协调吗？如果是不可能的，但哥德尔在他的不完全性定理的证明中，就有形如由A到 ¬ A的推理，这难道不可以进行质疑吗？
汪芳庭教授在其编著的《数理逻辑》（第2版）一书中，给出了关于哥德尔不完全性定理的证明（见该书第160-161页），这个证明是否有效？下面是笔者的不同看法。
从逻辑先后的顺序讲，相关概念是以如下顺序依次发生的：P（x1）→  m  → P（m） →  n  → W（m，n）→ w（m ，n）。为了避免歧义，我们特别把这里的w叫做终端符号w（即表示这个符号是有来源的，它处于一个依次列出多个概念这一连续过程的终端位置）。
由第161页第3-5行中的论证可知，第6行中的w是终端符号w。由第7行的推理知，P（m）中的w在推理过程中没有发生变化，即第8行中的w就是P（m）中的w。
如果第8行中的w与第6行中的w相同，即P（m）= ∀x2 ¬ w（m ，x2）中的w是终端符号w。w的前身符号是二元关系符号W，那么，自然会产生一个问题：括号内的x2的前身是哪个公式的证明的哥德尔数呢？答案是，这样的公式是不存在的，换一种说法，P（m）本身就是一个矛盾表达式。理由是，欲求之公式的表达式中必含有x2，要定义欲求之公式（即知道它是什么意思），就要用到x2；反过来，要定义x2（即知道它是什么意思），又要用到欲求之公式。简言之，第8行中的w如果是终端符号w，则会导致循环定义的发生，故第8行中的w不可能是终端符号w。
‚如果第8行中的w不是终端符号w，而是一个与二元关系不相干的符号w，这说明第6行中的w（m ，n）与第8行中的 ¬ w（m ，n）不构成互为否定形式，因此不可以应用反证法否定假设条件，从而得不出 P（m）不可证的结论。如果仅凭表面形式认为第8行中的 ¬ w（m ，n）是第6行中的w（m ，n）的否定形式，则这样的推理是无效的，属歧义谬误。
基于上述分析，汪芳庭教授的推理是无效的。
以上看法是否正确，希望得到汪教授及各位专家的批评指正。