意外考试悖论的推理为什么是错误的

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意外考试悖论的推理为什么是错误的
杨六省
（陕西省长安师范学校 710100）
摘要：目的：消解意外考试悖论。方法：本文以名为“逻辑先后律”的思维原则为剖析工具，揭示意外考试悖论发生的根源。结果：(1)缺乏游戏规则是意外考试悖论难有公认解决方案的根源所在。(2)学生的推理是无效的。(3)给出预告为真之证明。结论：意外考试悖论可予以消解。
关键词：对策伦；意外考试悖论；逆向归纳法；师生游戏规则；相容性；歧义谬误
中图分类号：B81     文献标识码： A       文章编码：

0 引言
意外考试悖论是世界著名逻辑推理难题，迄今仍没有公认的解决方案。哲学家迈克尔•斯克里文（Michael Scriven）关于该问题评论道[1]：“逻辑的力量遭到事实的否决，我觉得这正是这个悖论的迷人之处。”但是，笔者认为，不是逻辑的力量真的遭到了事实的否决，相反，是人们在推理中违反了逻辑原则。
奎因（W.V.Quine）在1953年关于意外考试悖论问题评论道[2]164-165：学生的归谬推理所否定的不是教师的预告本身，而是“学生事先知道预告为真”这个假设；而学生事先不可能真正地知道预告的真假。尤其是在他们试图归谬否定预告的情况下，假设他们已知后者为真更是不合理的。奎因的上述评论是令人费解的，笔者的质疑是：（1）奎因评论的表述方式是，学生的归谬推理所否定的不是…，而是…，这表明奎因对学生推理的有效性是认可的。但是，如果学生的推理被揭示是不成立的，那么，奎因的评论还有意义吗？（2）学生的推理结论明明是“考试预告是不可实施的”，怎么能说“学生的归谬推理所否定的不是教师的预告本身”呢?（3）解决历史难题没有过去和现在之分，只要问题迄今仍未解决，以往的一切经验都是今天解决难题的可用条件：（i）实践教育了学生K，他今天一定知道预告为真；（ii）人们把学生K的推理结论叫做意外考试悖论，其本身就表明人们（包括学生）普遍认可预告为真，事实上，现在人人皆知预告为真；（iii）尤其是，本文证明了预告必然为真，基于以上理由，怎么能说“学生事先不可能真正地知道预告的真假”呢？
解决意外考试悖论问题的症结所在，是认识对老师第二天是否会考试的事先判断环节的必要性，这个问题一旦解决，即可形成解决该问题的准则（即师生对弈的游戏规则），从而必然会产生出公认的解决方案。
意外考试悖论与塞尔顿连锁店悖论[3]，都是应用了在博弈论等领域中被广泛应用的逆向归纳法。但是，不考虑或者没有周全地考虑推理前提地应用逆向归纳法，是不合理的。
    本文的主要目的，一是揭示师生游戏规则的缺失是意外考试悖论发生的根源；二是建立师生游戏规则，揭示学生推理的无效性，从而使意外考试悖论得以消解。
1 讨论
美国著名数理逻辑学家Herbert B.Enderton说：“在所有的情况中，都有一种给定方法将合式公式翻译为自然语言，并且将一类受限制的自然语言句子翻译为形式语言。”[4]这表明，形式语言虽是自然语言的精确化，但二者并没有本质的区别。如果说，自然语言不能够证明逻辑矛盾（注：悖论是逻辑矛盾），不能够证明与客观事实相矛盾的命题，那么，形式语言同样不能够证明。基于自然语言版本的意外考试悖论的表述通俗易懂，更能吸引人们的兴趣和参与，但解答它同样异常困难；另一方面，答案的可检验性是如此之明显，这足以让攻坚者确信，谜底既然存在，通向谜底的隐秘真理就一定可知，因而他们的求解努力绝不致白费气力。基于以上原因，按照希尔伯特的鉴别准则[5]38，自然语言版本的意外考试悖论，就是一个好的数学问题，所以，本文只就自然语言版本的意外考试悖论问题进行讨论。
1.1  悖论概念的狭义（学术型）定义
悖论的发生原因是什么？消解悖论意味着什么？如何给悖论下定义？学界颇有争议。芬兰著名哲学家和逻辑学家冯•赖特（Georg Henryk von Wright）如下明确的说法，代表着学界主流的观点，他说：“悖论并不是虚假推理的结果。它们是从虚假前提进行正确推理的结果，并且它们的共同特征似乎是：正是这一结果即悖论，才使我们意识到（前提的）假。”[6]笔者不赞同关于悖论定义的主流观点，理由是，虚假前提既不是悖论发生的必要条件（例如，非自谓的一词，就是一个合理的概念，但由于人们的推理不是有效的，仍然产生了悖论），也不是悖论发生的充分条件（例如，对于本文“1.7”中史密斯的话，只要警惕陷阱，勿上圈套，不犯歧义谬误，悖论的发生并不是不可避免的），因此，将悖论发生的根源归结为虚假前提，是不合理的。
基于上述看法，笔者给出的悖论定义（狭义的，即学术型的）是：对于一个概念、命题或语句等，如果通过一个看似合理的推理：①由A推出了¬ A（或由¬ A推出了A）；② 由B 既推出了A 又推出了¬ A；③推出了一个与客观事实相矛盾的结论，则称这里的A & ¬ A 及与客观事实相矛盾的结论为悖论。悖论是逻辑矛盾，因而，悖论的消解自然是个逻辑范畴的问题（它不解决知识问题，例如，归纳悖论的消解，就不涉及休谟问题的解决。学界关于悖论的形形色色的分门别类，其实都是非本质的，因为它们与导致悖论发生的根源即与推理过程中的逻辑错误的性质无关），其含义是指揭示推导过程的无效性。悖论既然是由不合理的推理引起的，所以，它应当得到消解；因为真理是可知的，所以，不存在无法解决的悖论。
基于消解悖论是指，查找推理过程中的具体错误，所以，不可能有一个划一的消解悖论的方案，只能是具体情况具体分析。
1.2        问题与由来
（1）由来
“意外考试悖论”是从“突然演习问题”变化而来，它的变体还有“意外绞刑悖论”等。
“这个悖论（指“意外绞刑悖论”——笔者）之所以拥有非同寻常的声望，这是因为它是在一个真实事件的启发之下产生的。追溯到第二次世界大战期间（1943或1944），瑞典广播公司播放了一则通告：
下周将举行一次民防演习，为了确保各个民防单位真正处于无准备的状态，预先任何人都不会知道演习将在哪一天发生。
瑞典数学家莱纳特•埃克波姆（Lennart Ekbom）在声明中发现了微妙的矛盾，并告诉了他在艾斯特毛姆学院的学生。从此，这个问题很快传遍世界。”[1]130
埃克波姆曾把该问题提交给某些学界同行，但始终没有得到满意的解答。
1948年，Mind杂志发表英国学者奥康纳（D.O'Connor）题名为《语用悖论》的有关“突然演习问题”的论文，将该问题作为一个严肃的学术问题公开征询答案，但仍毫无结果。[2]163
……
（2）问题
意外考试悖论问题说的是，有位老师对学生说：“我将在下周的头三天进行一次考试。我保证，你们不可能事先推知考试究竟会在哪一天进行。”有一位聪明学生K不以为然，并给出如下论证：下周三不可能考试，如若不然，说明下周的头两天均未考试，这样，学生在下周二的晚上即可推知第二天必考试，但这与考试预告的条件不符，故考试必在下周的头两天；继而以同样的逻辑即可排除考试在下周二和下周一，由此证明考试预告是不可实施的。然而，当老师在下周的头三天果真进行考试时，着实让学生感到意外！在实践中可以实施的考试预告，被学生证明是不可实施的，人们把学生的这一错误推理结论，称作意外考试悖论。
1.3  师生游戏规则的缺失是意外考试悖论发生的根源
文［7］提出了一条消解悖论的思维原则，这条原则说的是：在处理概念之间的关系时，逻辑上属后的东西不得与逻辑上在先的东西相混淆，我们不妨称之为逻辑先后不得混淆原则，简称逻辑先后律。
我们所考察的考试预告问题，实际上是师生之间关于推理问题的一场逻辑智慧博弈，涉及双方的互动。若是缺少了学生一方事先对老师第二天是否会考试的判断环节，就会造成对考试预告的实施情况无法进行裁决的结果，例如，老师在下周一进行了考试，考试预告到底算是大功告成，还是输局定矣？不得而知。再说，缺乏相应的准则，将无法对学生推理的有效性作出判断，同时，也无法对考试预告的正确性进行论证。总之，纵观以往解决意外考试悖论问题的各种方案，均忽略了一个简单的道理，这就是，两方对弈，得先有规则，这规则是双方都应该都愿意遵守的，否则，人们就不会有解决问题的共同语言，而这正是导致意外考试悖论难有公认解决方案的根源所在。
师生游戏规则：
①在考试尚未发生的情况下，学生务必在每个前日晚做到：（a）给出具有逻辑必然性的判断结论（注：不得借助于任何不具有逻辑必然性的附加条件）——“次日必考试”或“次日不可能考试”；或者（b）声明“次日是否考试不能推知”。
    ②学生作出的判断结论及声明，务必具有相容性，即相互之间不得矛盾。  
③双方约定：当学生前日晚作出的判断结论是“次日必考试”，如果老师在次日进行了考试，则裁决考试预告已告吹（注：前提是学生的判断结论不得违反上述游戏规则第②条，否则，裁决考试预告已获实现，例如，对于考试安排在下周三的情形，学生对下周的头两天是否考试，事先作出的都是不能推知的声明，但下周二晚对下周三是否考试作出的结论是必考试，就属此类情况）；当学生前日晚作出的判断结论是“次日不可能考试”或声明“次日是否考试不能推知”，如果老师在次日进行了考试，则裁决考试预告已获实现。
说明：当学生前日晚作出的判断结论是“次日必考试”，老师次日并未考试，此时可不可以对考试预告的实施情况进行裁决呢？我们说，首先，老师的考试行为毕竟还没有完成；再说，对于后续情况，即使学生在老师考试的前日晚作出的判断是“次日必考试”，但由于出现了两次“次日必考试”，所以，学生的推理总归是违反师生游戏规则第②条的，故还是在老师的考试之日进行裁决较为合理。
1.4  学生的推理错在哪里？
不管是客观事实上的下周的头两天没有考试，还是由“下周三考试”这一假设条件推出的下周的头两天不可能考试，都不是师生游戏规则意义下的下周的头两天不可能考试。二者的根本区别在于，对于后者，要求学生务必在本周日晚和下周一晚能够断言“明日不可能考试”。学生没有能够区分它们，这是歧义谬误，因此，学生的推理是无效的。事实上，仅从一般原理也可以说明，学生由假设最后一天考试展开推理，注定是徒劳的，理由很简单，由一个或然性的前提（因为老师把考试安排在最后一天，并不具有逻辑的必然性），不可能推出一个必然性的结论（指考试预告是不可实施的），唯一可能的解释是，推理必有错。
1.5  考试预告中出现“意外”一词，是不合理的
首先，澄清一个不正确的说法。不难知道，学生若是从逻辑上推出了不可能考试，但当考试真正发生时，学生会感到“意外”（这与推理是否正确无关）。据此界定，无论老师把考试安排在下周一或下周二，学生都会感到“意外”，这一点看来不会有争议。可能引起争议的是，在下周的头两天均未考试的情况下，学生可能认为，根据在下周的头三天必有一次考试，可以断定下周三必考试，从而他对下周三的考试不会再感到“意外”。学生之所以对安排在下周一或下周二的考试会感到“意外”，是因为他认可学生K推出的“考试预告是不可实施的”这一结论；但学生在下周二的晚上又抛开之前认可的结论而另行推理（事实上，由本文 “1.4”知，这种另行推理是不成立的，具体理由是：基于客观事实的下周的头两天没有考试，与在本周日晚和下周一晚，不得借助于假设条件能够依次推出的下周一和下周二不可能考试，即具有逻辑必然性的不可能考试，不是同一个概念——只有后者才是符合师生
游戏规则的，由于学生混淆了上述两个不同概念，因而其推理是无效的），这是在应用双重标准，故其推理是无效的，其关于对下周三的考试不会感到“意外”的说法，是站不住脚的。
其次，我们将说明，在考试预告中出现“意外”一词，是不合理的。陈波教授认为[8]，老师完全可以把考试安排在下周三（注：原文是“周五”，下文的相应改动不再说明），且仍然是一次“意外”！因为老师知道，学生会进行这样的逻辑推理：既然下周的头两天没有考试，下周的头三天又必有一次考试，则考试只能发生在下周三，我们预先就能知道这一点，该考试不再是“意外”考试。所以，下周三不会有考试。但老师正好针对学生的逻辑，给他们安排一个逻辑的“意外”：在下周三上课时宣布“立即考试”！（转引完）然而，笔者认为，上述“因为老师知道，学生会进行这样的逻辑推理：…”，其实是虚假的，或者确切些说，它只代表部分学生的错误想法。理由是：①由本文“1.6”知，学生不可能证明下周三必考试。②由本文“1.4”知，学生给出的证明是错误的（理由同前）。基于上述原因，学生的后续推理，即关于下周三不可能考试的推理也是无效的。退一步讲，就算学生可以证明下周三必考试，但我们还是可以提出进一步的质疑：当学生在下周二的晚上先后推出了下周三必考试和下周三不可能考试时，两个结论均会产生矛盾——前者与预告中不可能事先推知相矛盾，后者与预告中下周的头三天必有一次考试相矛盾，但老师（包括学生）为什么只认可对前一结论的否定而不去质疑后一结论的矛盾性呢？我们说，下周三必考试的否定，并非只包含下周三不可能考试，同时它也包含下周三是否考试不能推知这一选项，因此，由否定下周三必考试而直接认可下周三不可能考试之结论，是对排中律的错误应用。总之，只要考试预告中出现“意外”一词，就必会导致矛盾：试问，老师以指望学生犯错来证明自己的“意外考试”为真，是合理的吗？如果指望不住呢？例如，他所期待的学生已经幡然醒悟；或者，他所碰到的不是他所设想的学生，而是一位擅长直觉思维的学生，这时，学生会向他争辩道：“老师，我认为，学生‘事先不可能推知考试究竟会在哪一天进行’的确是真的，但正因为如此，不管您把考试安排在哪一天，我都不会感到意外，因此，您不可能进行一次出乎我们意料的考试。”在这种情况下，老师的“意外考试”还能实现吗？再说，碰到一类学生，“意外考试”为真；碰到另一类学生，“意外考试”不再为真，那么，“意外考试”还具有客观的评判标准吗？基于上述分析，笔者认为，在考试预告中出现“意外”一词，是不合理的。
笔者不赞同在考试预告的表述中出现“意外”一词，还有一个理由，这就是，争论“学生关于最后一天必考试或不可能考试的证明是否成立”，要比争论关于“意外”的问题重要得多。因为前者涉及的是在博弈论等领域中被广泛应用的逆向归纳法的合理应用问题，澄清这个问题，对于一门学科领域来说，具有很重要的意义；然而，关于是否“意外”的争论，则是个从属性的问题，甚至是个本来就不存在的问题（例如，对于那位擅长直觉思维的学生来说，就是如此），它所涉及的只是一个并不具有客观评判标准的心理学概念。
陈慕泽先生关于意外考试悖论问题的观点是：“因为学生论证的是一个有悖直觉的结论，因此，人们自然想到学生的论证在逻辑上存在漏洞。但是，我未见到一个对此所作的令人信服的分析。我同意这样的断定：事实上，学生的论证在逻辑上是成立的。”[9]巧合的是，陈先生与引言中哲学家迈克尔•斯克里文的观点是如此相吻合，他们似乎都认为：逻辑，可以与客观存在不一致！但我们要问：若真如此，研究逻辑的意义何在？
基于上述不同观点，争论“学生关于最后一天必考试或不可能考试的证明是否成立”的问题，还关乎学界能否坚持马列主义认识论基本原理这一重大原则问题，为了只关注重要问题，在考试预告的表述中，还是以不出现“意外”一词为好。但需要说明的是，把这个悖论叫做“意外考试悖论”却是没有问题的，因为这个叫法所针对的是学生K的错误推理结论，而不是那位擅长直觉思维的学生的意识。
1.6  预告必然为真的逻辑理由
人们不可只满足于以事实来说明预告为真，还应当寻找预告必然为真的逻辑理由。下面是预告为真的理论证明。
①关于下周一是否会考试，学生事先什么也证明不了
学生在本周日晚不可能证明下周一必考试，也不可能证明下周一不可能考试，因为老师对考试日期的选择有三种可能，故只能作出“下周一是否考试不能推知”的声明。这样，依据师生游戏规则，老师若在下周一考试的话，考试预告即可实现。
②关于下周二是否会考试，学生事先什么也证明不了
    如果下周一没有考试的话（注意：学生在本周日晚已作过“下周一是否考试不能推知”的声明），一方面，学生在下周一晚不可能证明下周二必考试，因为老师对考试日期仍有两种可能的选择（下周二或下周三）；再说，由“下周二必考试”可推出“下周一不可能考试”的结论，这与学生已作过的“下周一是否考试不能推知”的声明相矛盾，从而违反游戏规则第②条。另一方面，学生在下周一晚也不可能证明下周二不可能考试，因为老师对考试日期仍有两种可能的选择。基于以上两方面的理由，学生在下周一晚只能作出“下周二是否考试不能推知”的声明。这样，依据师生游戏规则，老师若在下周二考试的话，考试预告即可实现。
③关于下周三是否会考试，学生事先什么也证明不了
如果下周的头两天没有考试的话（注意：学生在本周日晚和下周一晚已分别作过“下周一是否考试不能推知”及“下周二是否考试不能推知”的声明），一方面，学生在下周二晚不可能证明下周三必考试，因为由“下周三必考试”可推出“下周的头两天不可能考试”的结论，这与学生作过的“下周一是否考试不能推知”及“下周二是否考试不能推知”的声明相矛盾，从而违反游戏规则第②条。另一方面，学生在下周二晚也不可能证明下周三不可能考试，因为这与下周的头三天会有一次考试的条件相矛盾；再说，若下周三不可能考试，则由预告中必有一次考试会推出下周的头两天必有一次考试，这与学生已作过的“下周一是否考试不能推知”及“下周二是否考试不能推知”的声明相矛盾（因为对于后者而言，是包含下周一和下周二都没有考试这种可能性的），从而违反游戏规则第②条。基于以上两方面的理由，学生在下周二晚只能作出“下周三是否考试不能推知”的声明。这样，依据师生游戏规则，老师若在下周三考试的话，考试预告即可实现。
综上分析可知，学生前日晚对次日是否会考试，均只能作出不能推知的声明。因此，依据师生游戏规则中的约定，老师无论想把考试安排在哪一天，其考试预告都是可实现的。
1.7  考试期限只有一天的情况
享誉世界的趣味数学大师、美国科普作家马丁•伽德纳（Martin Gardner）说[10]：“事实上，即使只有一扇门（笔者注：相当于“考试期限只有一天”），整个悖论仍然存在。”书中接着对此说法给出了详细的解释：“假设史密斯先生是一个说真话的人，你对他的话从来都深信不疑。他拿着一个盒子对你说：‘打开看看，里面有一个你想象不到的蛋。’你如何推测盒子里面到底有没有蛋呢？如果史密斯说的是真话，盒子里确实有蛋。但如果你猜到了有蛋，那么史密斯就错了。另一方面，如果这样推理让你认为里面没有蛋，但打开却发现一个没有预料到的蛋，史密斯又说对了。”
作者评论：对于考试预告，不可以将考试期限只有一天与多于一天的情况相提并论。理由是，后者所给出的条件是协调的，我们可以证明其为真；但前者则相反。在只有一个盒子的情况下，说盒子里有一个你想象不到的蛋，这是背理之言，因为盒子里面有蛋，就不可能想象不到。因此，假设史密斯先生是一个说真话的人，就不该再假设他会说出背理之言；如果假设背理之言出自史密斯之口，就不该说史密斯是一个说真话的人，从而也不能假设你对他的话从来都深信不疑。想到马丁先生还是一位魔术师呢，这不由得让笔者产生联想，他会不会在推理中也使用变戏法呢？仔细瞧瞧看，还真没有猜错呢！
①史密斯所宣示的，本来是假话，因为在只有一个盒子的情况下，里面有蛋，必是能想象得到的。但在前半部论证一开始，马丁赋予“真话”的含义是，盒子里放的是普通的蛋（而不是想象不到的蛋），所以能够推出它是想象得到的；接下来，马丁又赋予“真话”以完全相反的含义，即盒子里的蛋是想象不到的，这样一来，史的宣示就成了假话。在同一论证过程中，赋予“真话”一词以相互矛盾的含义，这种歧义谬误表明，马丁的前半部论证是无效的，不成立的。
②史密斯原来宣示的是——“打开看看，里面有一个你想象不到的蛋。”说史密斯错了，应该是指，盒子里的蛋并不是想象不到的，而不是指盒子里没有通常意义的蛋。但是，马丁先生不知是有意还是无意，将二者混淆了，于是他说，“但打开却发现一个没有预料到的蛋，史密斯又说对了。”这里发生的关于“史密斯错了”这句话的歧义谬误表明，马丁的后半部论证也是无效的，不成立的。
    悖论在未被消解之前是否存在，在学界是有争议的。笔者的观点是，不能说悖论在消解之前是存在的，只是在消解之后才不存在了。犹如人们在对一个魔术变戏法破解之前，不能说“点石成金”是存在的一样。“点石成金”的所谓“存在”，对于观看魔术的人来说，只是一个假象而已。希尔伯特（Hilbert,D）说[5]52：“如果一个概念具有矛盾的属性，那我就认为这概念在数学上不存在”。既然悖论不具有存在的合理性，尤其是在我们已经消解了一个悖论的情况下，更不能说这个悖论是存在的。据此，笔者认为，马丁关于“事实上，即使只有一扇门，整个悖论仍然存在”的说法，是不成立的（说明：如果允许人们谈论悖论的存在的话，那也只能被看作是一种方便的说法而已，而不是指悖论存在的合理性）。
那么，马丁关于“如何推测盒子里面到底有没有蛋”的提问，答案究竟是什么呢？我们说，史密斯的话是自相矛盾的，借用欧文•M•柯匹等作者的话说就是：看不出这一点，就不知对方有圈套；回答它就等于自投罗网。[11]回过头来再看看，考试期限只有一天的情况，考试预告是否能实现呢？可能会出现这样一种误解，老师想，学生一定会进行这样的逻辑推理：若假设次日必考试，则与预告中不能事先推知考试日期的条件相矛盾；若假设次日不可能考试，则与预告中次日有考试的条件相矛盾，故两个假设均不成立，从而学生只能得出次日是否考试不能推知的结论。但这样一来，依照师生游戏规则第③条，老师若在次日考试的话，即可实现自己的考试预告。我们说，上述论证的错误在于，前两步推理，分别应用了相互矛盾的条件（在考试期限只有一天的情况下，既声明会考试，又声明不可能事先推知），这是违反一致性的，这样的推理是无效的。再说，不可以将原问题有意义（即考试预告是可实施的）从而作为师生游戏规则第①条中的选项之一的“不能推知”，与原问题无意义（即考试预告是不可实施的）从而作为原问题不可能得到解决的“不能推知”之说法相混淆。学生唯一正确的应对之策是揭露老师预告的虚假性，即明明白白地告诉老师：“您的预告条件是自相矛盾的，因此，该预告不具有存在的合理性，即它是不可实施的。您试图诱惑我以是与否的形式，去回答一个伪问题——明天是否会考试，这是在有意让我自落圈套，我才不会盲目地根据您的矛盾条件去进行无效推理呢！”这里值得指出一点是，不自相矛盾的虚假前提（例如，1=2）与自相矛盾的虚假前提（例如，考试期限只有一天的预告条件），是有着本质的区别的，对前者，可以实施有效推理，对后者则否。
2 结论
①师生游戏规则的缺失，是导致意外考试悖论发生和难以获得解决的根源。②基于学生推理的无效性，意外考试悖论可予以消解。

参考文献：
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