也谈赫渥特图型的构形的种类

雷明85639720

也谈赫渥特图型的构形的种类
雷  明
（二○一六年六月二十九日）

看了张彧典先生最近的论文《四色猜想之Heawood反例类“四大构形”综述》，我也想就赫渥特类构形的种类谈一点看法。
1、大家一直都把赫渥特图或构形叫做“反例”，我认为不妥，该图并不是不可4—着色的，当然肯定不是四色猜测的反例；该图在4—着色过程中仍然要用坎泊的颜色交换技术，当然也不是坎泊颜色交换技术的反例。只能说坎泊当年只证明了具有简单的两条连通链的情况的5—轮构形是可以同时移去两个同色的，这种构形是可约的；而较复杂一点的有两条相交叉的连通链的情况坎泊并没有证明是否可约。现在我们只要证明了这种情况的5—轮构形是可约的，补上坎泊的这个遗漏，再加上坎泊已经证明过的其他的不可免构形是可约的，那么四色猜测不就得到证明是正确的了吗。为什么一定要把赫渥特的图叫做“反例图”呢，没有道理的。相反，叫做坎泊的遗漏图或构形才是名符其实的。
2、张彧典老师提出了赫渥特类构形只有四类，即他的九构形中的一、三、四、五、六、七为一类，二、八为一类，九为一类，他的Z1、Z2、Z3为一类，共四类。他的分类方法只是从“赫渥特颠倒”这一方法上去进行的归类，相同颠倒次数的归为一类，这当然也是一种归类方法。但决不能把第二、第八构形当为一类。因为第二构形，两次颠倒后，即可变成没有交叉连通链的构形，即坎泊构形，或叫普通构形；而第八构形在进行了一次颠倒后，才能变成第二构形，即赫渥特构形，该项构形同样需要再进行两次颠倒后，才能变成坎泊构形。二者进行的颠倒次数是不相同的，是不能划归为一类的。
3、在坎泊遗漏的构形中，也有可以同时移去两个同色的构形，如图1中的三个构形。这三个图中均含有交叉的连通链A—C和A—D，但都可以同时移去两个同色。图1，a两次交换关于B的链时是可以任意进行的，先交换哪一个都是无所谓的，都是可以同时移去两个同色B的；而图1，b则必须先交换B—D链，后交换B—C链，才能同时移去两个同色B，否则构形就会变成赫渥特型；相反，图1，c则必须先交换B—C链，后交换B—D链，才能同时移去两个同色B，否则，构形同样也会变成赫渥特型。读者可以生已画图试试。

（图1中各图的顶点8应为A色，误着成了B，请读者改一下）
4、在坎泊遗漏构形中，当然一定有不能同时移去两个同色的构形，如赫渥特图和由赫渥特图简化而来的“九点形”构形，还有米勒构形。赫渥特“九点形”构形的米勒构形如图2。赫渥特“九点形”构形中因为有环形的C—D链，且只有这一条C—D链，把A—B链分隔成环内环外互不相连的两部分，交换任一部分A—B链，都可以使原来的连通链从两链的交叉顶点“断链”，使构形变成坎泊构形；而米勒图则既有环形的C—D链，又有环形的A—B链，且两种链均有两条，既不能象图1中的构形那样，同时移去两个同色B，也不能象赫渥特“九点形”那样，交换任一条A—B链进行“断链”变型。而只能交换任一条C—D链，使原来的连通链从两链的非交叉顶点“断链”，使构形变成坎泊构形。很简单，读者也可以自已动手试试。

（图2中左图的顶点8应为A色，误着成了B，请读者改一下）
5、对于图1中的b、c两构形，复杂一点的图，一下子就不可能找到先应从那个B进行交换了，但我们至少知道图中没有环形链，也就可按图1，a的办法任意进行交换，一次交换后，要么再交换一次，可同时移去两个同色B，要么变成赫渥特“九点形”型构形，再按赫渥特“九点形”的解决办法去解决。图1中的b、c两构形，我把它叫做半H—构形，而把图1，a的图叫非H—构形。看来这时对半H—构形的第一次交换，就是米勒和张彧典老师的“颠倒法”。
6、现在可以看出，对于以上的四类类赫渥特图的构形，都有各自的单独的解决办法：对于图1，a的非H—构形，可交换两次关于两个同色B的链，同时移去两个同色B；而对于图2，a的赫渥特构形，可以交换任一条A—B链使原来的两条连通链从其交叉顶点“断链”转型；对于图2，b的米勒构形可以交换任一条C—D链使原来的两条连通链从其非交叉的顶点“断链”转型；对于图1，b和c两构形可以进行任意方向的“颠倒”，使构形转变成坎泊构形或赫渥特构形，再进行解决。
7、我们现在再来看一看张彧典老师的Z1、Z2、Z3、Z4构形道底属于哪一类构形。很明显，Z4—构形是米勒构形，一点不差。
Z1—构形是一个赫渥特构形，可按赫渥特构形的着色方法去着色（如图3）。

Z2—构形是一个米勒构形的图，可按米勒构形的着色方法交换后，变成非H—构形，可同时移去两个同色B（如图4）。
Z3—构形与Z2—构形一样，也是一个非米勒构形的图，也可按米勒构形的着色方法交换后，变成非H—构形，也可同时移去两个同色B（如图4）。
Z2和Z3构形，虽然解法同米勒构形，但图的结构的确与米勒构形还有一定的差别。如米勒构形中有C—D环形链，但Z2和Z3中却没有。能不能把这两个构形与米勒图一样，都叫做米勒构形，看来显然不可，所以张先生就叫做Z2和Z3构形，以“张”字开头的第一个大写英文字母起名。


8、坎泊的证明中，的却是遗漏了一种情况——赫渥特构形，现在我们已把这个遗漏补上了；米勒企图用颠倒的方法证明四色猜测，后又发现了米勒图，自认为出现了“循环”现象，对该图不能4—着色；现在我们又把米勒图进行了4—着色，也弥补了米勒的不足；张彧典先生，先是认为只有他的九大构形，可他自已现在又增加了Z1、Z2、Z3三个构形；先不说这些构形能不能4—着色的问题，就单说这类赫渥特构形以后还会不会再出现的问题，我认为还是有可能再出现的；所以能说，四个构形，或者是九个构形，都不能说就是全部的类赫渥特型构形了，因为你并没有证明再就不可能再出现这样的类赫渥特构形了。
9、由于以上8中的原因，所以我还是认为用着色的方法，企图证明四色猜测是不可能的。另外从构形上看，各对构形的概念理解都不相同，这怎么能找出平面图的不可免集呢。现在不是有多种不可免集吗。但谁也不能证明自已的不可免集就是完全的，再无遗漏了。所以我还是认为应该用“不画图不着色”的方法对四色猜测从理论上（图论方法）进行彻底的证明（证明方法见我的《话说四色问题——研究四色问题三十年之总结》一文中的有关部分）。

雷  明
二○一六年六月二十九日于长安

注：此文已于二○一六年六月二十九日在《中国博士网》上发表过，网址是：

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