下面的幂级数怎样求和

sunboy25

求下面幂级数的和函数
∑(1/n!)x^n(x=0-∞)，有过程最好，我怎么算也算不出结果是e^x,不知道是那里出了问题，请高手指教？

elim

设这个级数的和为f(x), 根据幂级数的乘积定理可得
关系 f(x+y) = f(x)f(y).  由此推出f滿足微分方程
f'=f, 解得 f(x) = c e^x.  (c≠0).  再由 f(0)=1 得 f(x)=e^x.

luyuanhong

设这个幂级数的和为 f(x) ，对它逐项求导，可以得到

    f '(x)=f(x) 。

解这个微分方程，得到 f(x)=Ce^x 。

再从 f(0)=1 可知常系数 C=1 ，所以有 f(x)=e^x 。

elim

逐项求导推出f'(x)=f(x)简单多了。
这得益于在证明上较复杂的
求导与级数求和交换顺序的可行性定理。

xfhaoym

你说的这个级数之和，它就是e^x的台劳级数！所以这级数的和是e^x。

请你查找一下e^x的展开式。

sunboy25

xfhaoym 发表于 2016-7-11 08:09
你说的这个级数之和，它就是e^x的台劳级数！所以这级数的和是e^x。

请你查找一下e^x的展开式。

这个我知道，但是我还是想知道过程，这个展开式怎么算着算着就能算到e^x?

xfhaoym

你知道台劳级数，怎么不会做？有现成的公式，只是在零点展开。e^x的导数不管是多少阶在零点处总是１.

xfhaoym

我知道了，你是想把这个级数反推回到e^x。

sunboy25

xfhaoym 发表于 2016-7-11 12:19
我知道了，你是想把这个级数反推回到e^x。

是的，这是我的想法！要有具体过程就好，你这给我的方法！我知道，具体怎样算我还是不知道！不过还是要谢谢你愿意回答我的问题。