数论小猜想

蔡家雄

【我找到了：质数立方是完美立方数的质数P】

设 P^3=A^3+B^3+C^3，其中 P 是质数，

且 A^3=a1^3+a2^3+a3^3，B^3=b1^3+b2^3+b3^3，C^3=c1^3+c2^3+c3^3 均为正整数解，

得 质数 P= 61291， A= ?   B= ?   C= ?   但 P=61291 很有可能不是最小解。

我不是用编程，仅用计算器，靠的是查我以前的三次幂公式。

n^3+b^3+c^3= (c+3k)^3 隐藏的特殊解公式

n^3+(3n^2+2n+1)^3+(3n^3+3n^2+2n)^3 = (3n^3+3n^2+2n+1)^3

n^3+[n(9*k^3 -1)]^3+[n(9*k^4 -3k)]^3 = [n(9*k^4)]^3

(n^2)^3+(2n^2 -3n+3)^3+(n^3 -2n^2+3n -3)^3=(n^3 -2n^2+3n)^3

(n^2)^3+(2n^2+3n+3)^3+(n^3+2n^2+3n)^3=(n^3+2n^2+3n+3)^3

(3n^2)^3+(6n^2 -3n+1)^3+(9n^3 -6n^2+3n -1)^3=(9n^3 -6n^2+3n)^3

(3n^2)^3+(6n^2+3n+1)^3+(9n^3+6n^2+3n)^3=(9n^3+6n^2+3n+1)^3

(3n^2)^3+(27n^4+6n^2+1)^3+(81n^6+27n^4+6n^2)^3=(81n^6+27n^4+6n^2+1)^3

我直接取值 n=2, n=3, (81n^6+27n^4+6n^2+1) 均为质数，并且我知道 A=9k,  B=19k,  C=9k .

白新岭

蔡家雄先生涉猎广泛！

蔡家雄

【质数立方是完美立方数的质数P】

设 P^3=A^3+B^3+C^3 = D^3+E^3+F^3，其中 P 是质数，

且 A^3=a1^3+a2^3+a3^3，B^3=b1^3+b2^3+b3^3，C^3=c1^3+c2^3+c3^3 均为正整数解，

及 D^3=d1^3+d2^3+d3^3，E^3=e1^3+e2^3+e3^3，F^3= f1^3+f2^3+ f3^3 均为正整数解，

求 质数 P= ？  A= ?    B= ?    C= ?    D= ?    E= ?    F= ? （ 至少两组解！！！）

Treenewbee

1000以内找到5组解：

431 = [135, [15, 90, 120]] + [188, [115, 122, 149]] + [414, [46, 276, 368]]
       = [200, [32, 136, 176]] + [239, [15, 114, 230]] + [388, [138, 145, 375]]

577 = [41, [2, 17, 40]] + [244, [73, 174, 207]] + [562, [100, 344, 514]]
       = [90, [25, 38, 87]] + [201, [45, 53, 199]] + [568, [112, 184, 560]]
       = [153, [17, 102, 136]] + [174, [47, 97, 162]] + [568, [112, 184, 560]]
       = [172, [1, 135, 138]] + [318, [159, 212, 265]] + [537, [51, 171, 531]]
       = [356, [68, 160, 344]] + [385, [168, 268, 321]] + [448, [288, 304, 336]]

733 = [69, [36, 38, 61]] + [562, [100, 344, 514]] + [600, [45, 275, 580]]
       = [373, [40, 141, 366]] + [552, [187, 261, 524]] + [558, [142, 300, 524]]

877 = [45, [5, 30, 40]] + [508, [79, 122, 505]] + [816, [128, 214, 810]]
       = [84, [28, 53, 75]] + [534, [102, 240, 516]] + [805, [21, 238, 798]]
       = [174, [47, 97, 162]] + [436, [18, 193, 423]] + [837, [213, 450, 786]]

911 = [88, [25, 31, 86]] + [386, [71, 81, 384]] + [887, [15, 276, 878]]
       = [207, [23, 138, 184]] + [516, [152, 228, 496]] + [848, [464, 544, 704]]

蔡家雄

【质数立方是三质数立方的完美立方数的质数P】

设 P^3=A^3+B^3+C^3，其中 P, A, B, C 都是质数，

且 A^3=a1^3+a2^3+a3^3，B^3=b1^3+b2^3+b3^3，C^3=c1^3+c2^3+c3^3 均为正整数解，

8000以内 P, A, B, C 均为素数的组合，由 Treenewbee 程序计算，

709 = [193, [25, 68, 190]] + [461, [5, 86, 460]] + [631, [120, 207, 622]]

2767 = [103, [12, 31, 102]] + [2179, [108, 235, 2178]] + [2213, [1238, 1373, 1852]]

蔡家雄

【质数立方是至少两组三质数立方的完美立方数的质数P】

设 P^3=A^3+B^3+C^3 = D^3+E^3+F^3，其中 P, A, B, C, D, E, F 都是质数，

且 A^3=a1^3+a2^3+a3^3，B^3=b1^3+b2^3+b3^3，C^3=c1^3+c2^3+c3^3 均为正整数解，

及 D^3=d1^3+d2^3+d3^3，E^3=e1^3+e2^3+e3^3，F^3= f1^3+f2^3+ f3^3 均为正整数解，

求 质数 P= ？  A= ?    B= ?    C= ?    D= ?    E= ?    F= ? （ 至少两组解！！！）

蔡家雄

【质数立方是至少两组三质数立方的完美立方数的质数P】

我相信一定有解！！！但我感觉满足此条件的最小质数P，大于十万，，，，，，

蔡家雄

锥形数：C(n) =n^2*(n+1)/2 ,

求证：若 n>=2，则 [n^2*(n+1)/2]^3=a^3+b^3+c^3 均有正整数解。


四维拟形数：C(n) =n*(n+1)^2*(n+2)/12 ,

求证：若 n>=2，则 [n*(n+1)^2*(n+2)/12]^3=a^3+b^3+c^3 均有正整数解。

设 U=n,  V=n*(n+1)/2,  W=U^2 - 2*U*V/3+2*V^2/3,

则 W(n+2)=C(n)+C(n+2) =n*(n+1)^2*(n+2)/12+(n+2)*(n+3)^2*(n+4)/12 .

Treenewbee

蔡家雄 发表于 2023-1-27 22:05
【质数立方是至少两组三质数立方的完美立方数的质数P】

设 P^3=A^3+B^3+C^3 = D^3+E^3+F^3，其中 P, A,  ...

33199^3=2833^3+19081^3+30941^3=15187^3+24197^3+26647^3
49069^3=661^3+37441^3+40343^3=22307^3+37243^3+38119^3

Treenewbee

只考虑第一层质数解，3000以内至少五组：709, 1033, 2767, 2791, 2917
OEIS搜到了该序列：
A114923                Primes p such that there exist three primes q, r and s with p^3=q^3+r^3+s^3.

        709, 1033, 2767, 2791, 2917, 3727, 3769, 5647, 5657, 5737, 7039, 7321, 8089, 8291, 8387, 9433, 9473, 9851, 12073, 12343, 13417, 14083, 14561, 14723, 14831, 14969, 15313, 18127, 19841, 25033, 28081, 28477, 29153, 29179, 32771, 33161, 33199, 33377, 34337, 36713